Equence और सीरीज़ विषय
अंकगणितीय प्रगति (एपी)
सामान्य शब्द:
n अंकों का योग:
गुणतात्मकता:
- एपी के दो लगतार टर्मों के बीच का अंतर स्थिर होता है।
- पहले n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है।
- पहले n संख्याओं का योग n बार (n+1) वाँ विषम प्राकृतिक संख्या होता है।
ज्यामितिक प्रगति (जीपी)
सामान्य शब्द:-
गुणतात्मकता:
- जीपी के दो लगतार टर्मों के बीच अनुपात स्थिर होता है।
- जीपी के पहले n टर्मों का योग, जहां r और a प्रथम टर्म है, होता है ( \frac{a(1-r^n)}{1-r} ), जहां (r \ne 1).
- यदि (0 < r < 1), तो अनंत ज्यामितिक श्रेणी (a+ar+ar^2+\dotsb) का योग होता है ( \frac{a}{1-r},).
समरूपी प्रगति (एचपी)
सामान्य शब्द:
n अंकों का योग:
श्रृंखला
संकर्ण श्रृंखला: एक श्रृंखला कही जाती है कि एक सीमित संख्या के योग होते हैं।
विकल्पी श्रृंखला: जो श्रृंखला संकुचित नहीं होती है, उसे विकल्पी श्रृंखला कहते हैं।
आपातग्रस्त श्रृंखला: एक उलटे चिन्हों में थपथियात्मक टर्मों वाली श्रृंखला होती है।
गणितीय अनुक्रमकी: गणितीय अनुक्रमकी एक ऐसी विधि है जिससे सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक कथन सत्य होने की प्रमाणित की जाती है।
अनुक्रमकों की सीमाएं
सीमा की परिभाषा: एक अनुक्रमकी ((a_n)) की सीमा यदि है तो नंबर L है, जहां (\varepsilon>0) के लिए, हर एक पूर्णांक (N) मौजूद होता है जिसके लिए (|a_n - L|< \varepsilon) होता है जब हर एक पूर्णांक (n>N) होता है।
सीमाओं की गुणधर्म:
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यदि (\lim\limits_{n\to \infty}a_n = L) और (\lim\limits_{n\to\infty}b_n = M,) तो a) (\lim\limits_{n\to\infty} (a_n +b_n) = L + M). b) (\lim\limits_{n\to\infty} (a_n - b_n) = L - M). c) (\lim\limits_{n\to\infty} (ca_n) = cL, where c is a constant). d) यदि (c\neq0), (\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{M}).
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यदि (\lim\limits_{n\to \infty}a_n = L), तो हर एक (\varepsilon > 0) के लिए, एक पूर्णांक (N) मौजूद होता है जिसके लिए (|a_n-L|\leq\varepsilon) हर एक (n>N) के लिए।
सीमा के सिद्धांत:
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संकुचित करने का सिद्धांत: यदि (a_n \le b_n \le c_n) हर एक (n) के लिए होता है और यदि (\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} c_n = L,) तो (\lim\limits_{n\to \infty} b_n = L.)
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लीबनिज़ का नियम: यदि (\lim\limits_{n\to a}f(x) = \lim\limits_{n\to a} g(x) = 0) या (\pm \infty), और अगर (\lim\limits_{n\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}) मौजूद होता है, तो (\lim\limits_{n\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{n\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}).
अनुक्रमों और श्रृंखलाओं के अनुप्रयोग
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समीकरण तय करना: अनुक्रमों और श्रृंखलाओं का उपयोग समीकरणों को समीकणित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, (e^x) के लिए Maclaurin श्रृंखला है
इस श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है जो कि किसी भी वास्तविक संख्या (x) के लिए (e^x) की मान के लिए अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। -
योगश्रेणियाँ गणना करना: अनंत श्रृंखलाओं के योगों की गणना करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला का योग
को फार्मूला का उपयोग करके गणित किया जा सकता है -
समीकरणों का हल करना: अनंत श्रृंखलाओं का उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण (x = e^x) को लगातार विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है:
एक प्रारंभिक अनुमान (x_0) के साथ शुरू करके, हम इस फार्मूला का उपयोग करके समीकरण के हल तक के एक अनुक्रम को उत्पन्न कर सकते हैं।