अंकगणितीय प्रगति (एपी)

सामान्य शब्द: $$a_n=a_1+(n-1)d$$

n अंकों का योग: $$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$

गुणतात्मकता:

1. एपी के दो लगतार टर्मों के बीच का अंतर स्थिर होता है।
2. पहले n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है।
3. पहले n संख्याओं का योग n बार (n+1) वाँ विषम प्राकृतिक संख्या होता है।

ज्यामितिक प्रगति (जीपी)

सामान्य शब्द:-$$T_n=ar^{n-1}$$ n अंकों का योग:-$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}, where r\neq1$$

गुणतात्मकता:

1. जीपी के दो लगतार टर्मों के बीच अनुपात स्थिर होता है।
2. जीपी के पहले n टर्मों का योग, जहां r और a प्रथम टर्म है, होता है ( \frac{a(1-r^n)}{1-r} ), जहां (r \ne 1).
3. यदि (0 < r < 1), तो अनंत ज्यामितिक श्रेणी (a+ar+ar^2+\dotsb) का योग होता है ( \frac{a}{1-r},).

समरूपी प्रगति (एचपी)

सामान्य शब्द: $$h_n=\frac{1}{a+nd}$$

n अंकों का योग: $$S_n= \frac{n}{2a+(n-1)d}$$

श्रृंखला

संकर्ण श्रृंखला: एक श्रृंखला कही जाती है कि एक सीमित संख्या के योग होते हैं।

विकल्पी श्रृंखला: जो श्रृंखला संकुचित नहीं होती है, उसे विकल्पी श्रृंखला कहते हैं।

आपातग्रस्त श्रृंखला: एक उलटे चिन्हों में थपथियात्मक टर्मों वाली श्रृंखला होती है।

गणितीय अनुक्रमकी: गणितीय अनुक्रमकी एक ऐसी विधि है जिससे सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक कथन सत्य होने की प्रमाणित की जाती है।

अनुक्रमकों की सीमाएं

सीमा की परिभाषा: एक अनुक्रमकी ((a_n)) की सीमा यदि है तो नंबर L है, जहां (\varepsilon>0) के लिए, हर एक पूर्णांक (N) मौजूद होता है जिसके लिए (|a_n - L|< \varepsilon) होता है जब हर एक पूर्णांक (n>N) होता है।

सीमाओं की गुणधर्म:

1. यदि (\lim\limits_{n\to \infty}a_n = L) और (\lim\limits_{n\to\infty}b_n = M,) तो a) (\lim\limits_{n\to\infty} (a_n +b_n) = L + M). b) (\lim\limits_{n\to\infty} (a_n - b_n) = L - M). c) (\lim\limits_{n\to\infty} (ca_n) = cL, where c is a constant). d) यदि (c\neq0), (\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{M}).

2. यदि (\lim\limits_{n\to \infty}a_n = L), तो हर एक (\varepsilon > 0) के लिए, एक पूर्णांक (N) मौजूद होता है जिसके लिए (|a_n-L|\leq\varepsilon) हर एक (n>N) के लिए।

सीमा के सिद्धांत:

1. संकुचित करने का सिद्धांत: यदि (a_n \le b_n \le c_n) हर एक (n) के लिए होता है और यदि (\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} c_n = L,) तो (\lim\limits_{n\to \infty} b_n = L.)

2. लीबनिज़ का नियम: यदि (\lim\limits_{n\to a}f(x) = \lim\limits_{n\to a} g(x) = 0) या (\pm \infty), और अगर (\lim\limits_{n\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}) मौजूद होता है, तो (\lim\limits_{n\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{n\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}).

अनुक्रमों और श्रृंखलाओं के अनुप्रयोग

• समीकरण तय करना: अनुक्रमों और श्रृंखलाओं का उपयोग समीकरणों को समीकणित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, (e^x) के लिए Maclaurin श्रृंखला है $$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \dots$$ इस श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है जो कि किसी भी वास्तविक संख्या (x) के लिए (e^x) की मान के लिए अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।

• योगश्रेणियाँ गणना करना: अनंत श्रृंखलाओं के योगों की गणना करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला का योग $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots$$ को फार्मूला का उपयोग करके गणित किया जा सकता है $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

• समीकरणों का हल करना: अनंत श्रृंखलाओं का उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण (x = e^x) को लगातार विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है: $$x_{n+1} = e^{x_n}$$ एक प्रारंभिक अनुमान (x_0) के साथ शुरू करके, हम इस फार्मूला का उपयोग करके समीकरण के हल तक के एक अनुक्रम को उत्पन्न कर सकते हैं।