संबंध और फ़ंक्शन

• संबंध: सेट A से सेट B के बीच का संबंध A × B के उपसेट है।

  • एक संबंध को दो सेटों के बीच का मैपिंग माना जा सकता है।
  • संबंध के तत्वों को क्रमानुसार के युग्मकों के रूप में लिखा जाता है।

• डोमेन और रेंज: संबंध R का डोमेन A से B तक के क्रमानुसार के युग्मकों के पहले तत्वों का सेट है। R का रेंज R के क्रमानुसार के द्वितीय तत्वों का सेट है।

  • डोमेन बताता है कि संबंध किस सेट से शुरू होता है, और रेंज बताता है कि किस सेट में समाप्त होता है।
  • A × B कार्टेशियन गुणक A और B में से प्रत्येक के सभी क्रमानुसार के युग्मों (a, b) का सेट है, जहां a A में है और b B में है।

• फ़ंक्शन: A से B तक का फ़ंक्शन A से B के बीच का एक संबंध है जो प्रत्येक A के तत्व को बिलकुल एक B के तत्व के साथ सम्बंधित करता है।

  • फ़ंक्शन एक विशेष प्रकार का संबंध होता है जहां प्रत्येक इनपुट का एकल आउटपुट के साथ संबंध होता है।
  • फ़ंक्शनों को मैपिंग भी कहा जाता है।

• प्रविस्ट फ़ंक्शन: A से B तक का फ़ंक्शन f यदि A1, A2 ∈ A के लिए f(A1) = f(A2) है तो fविस्ट (या वन-टू-वन) होता है।

  • एक प्रविस्ट फ़ंक्शन अलग-अलग तत्वों को संरक्षित करता है।
  • दूसरे शब्दों में, यदि प्रविस्ट फ़ंक्शन के आउटपुट बराबर होते हैं, तो इनपुट भी बराबर होना चाहिए।

• सरजेक्टिव फ़ंक्शन: A से B तक का फ़ंक्शन f यदि हर b ∈ B के लिए, f(a) = b के लिए एक a ∈ A मौजूद होता है, तो f सरजेक्टिव (या ओंटू) होता है।

  • सरजेक्टिव फ़ंक्शन पूरी रेंज को कवर करता है।
  • दूसरे शब्दों में, डोमेन में से कम से कम एक इनपुट का प्रत्येक तत्व रेंज में होने वाले एक आउटपुट है।

• बायजेक्टिव फ़ंक्शन: A से B तक का फ़ंक्शन f दोनों प्रविस्ट और सरजेक्टिव होने पर बायजेक्टिव होता है।

  • बायजेक्टिव फ़ंक्शन एक-द्वि इकाई और ओंटू भी कहे जाते हैं।
  • बायजेक्टिव फ़ंक्शन केवल प्रविस्ट फ़ंक्शनों के लिए मौजूद होता है।

• प्रतिक्रिया फ़ंक्शन: यदि f एक बाईजेक्टिव फ़ंक्शन है जो A से B तक है, तो f(g(b)) = b और g(f(a)) = a के लिए a ∈ A और b ∈ B के लिए एक मात्र फ़ंक्शन g होता है जिसका नाम f^-1 से दिया जाता है। फ़ंक्शन g को f का प्रतिक्रिया कहा जाता है और f^-1 से दर्शाया जाता है।

  • फ़ंक्शन का प्रतिक्रिया मूल फ़ंक्शन को पूरा करता है।
  • प्रतिक्रिया फ़ंक्शन केवल बाईजेक्टिव फ़ंक्शनों के लिए मौजूद होता है।

• फ़ंक्शनों का समाधान: यदि f A से B तक का फ़ंक्शन है और g B से C तक का फ़ंक्शन है, तो f और g का समाधान, g o f, A से C तक का एक फ़ंक्शन है जिसे (g o f)(a) = g(f(a)) के तहत परिभाषित किया जाता है सभी a ∈ A के लिए।

  • फ़ंक्शनों का समाधान आपको नए फ़ंक्शन बनाने के लिए एकाधिक फ़ंक्शनों को मिलाने की अनुमति देता है।
  • समाधान में फ़ंक्शनों की क्रमबद्धता मायने रखती है।