निर्धारक

संकल्पनाएँ:

• एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक एक एकल संख्यात्मक मान है जो विभिन्न तरीकों से, सहायकों द्वारा विस्तार और लैपलेस विस्तार सहित, की गणना की जा सकती है।

• निर्धारकों की गुणधर्मों में शामिल हैं:

  • निर्धारक हर पंक्ति और हर स्तंभ में बहुलीनी हैं।
  • मैट्रिक्स के प्रतिष्ठान का निर्धारक मूल मैट्रिक्स का निर्धारक के बराबर है।
  • एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक उसके मुख्यांक के गुणांकों के गुणांकों के बराबर होता है।
  • यदि किसी मैट्रिक्स में एक पंक्ति या एक स्तंभ केवल शून्यों से मिली होती है, तो उसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है।

• सहायक और उप-मैट्रिक्स:

  • मैट्रिक्स में एक तत्व का सहायक एक साइनपूर्ण माइनर है, जो उस तत्व को समाप्त करने वाली पंक्ति और स्तंभ को हटा कर प्राप्त होने वाली उप-मैट्रिक्स का निर्धारक है।
  • मैट्रिक्स का उद्धारण सहायक मैट्रिक्स की ट्रांसपोज करना होता है।

रैंक और इकलन रूप

संकल्पनाएँ:

• मैट्रिक्स की रैंक मैट्रिक्स में लीनियररूपी अनश्रेण पंक्तियों या स्तंभों की अधिकतम संख्या है।
• यदि एक मैट्रिक्स में निम्न गुणधर्म होते हैं, तो इकलन रूप में होती है:
  • सभी ज़र्लोअ मान तिनके के ऊपर होते हैं।
  • प्रत्येक पंक्ति में अंतिम ज़र्लोअ मान के नीचे स्थित सभी मान शून्य होते हैं।
  • प्रत्येक पंक्ति में प्रमुख मान (सबसे बाईं ओर का गैर-शून्य मान) उस पंक्ति की तुलना में नीचे वाली पंक्ति की प्रमुख मान से अधिक या उसके बराबर होता है।

रेखांकन प्रणाली के ब्याज

संकल्पनाएँ:

• रेखांकन प्रणाली के द्वारा लीनियर समीकरणों की प्रणाली हल की जा सकती है, जहां मैट्रिक्स प्रणाली को एक मैट्रिक्स समीकरण में रूपांतरित किया जाता है और सेधांकनीय मैट्रिक्स को एक रेखांकन प्रणाली में रूपांतरित करने के लिए पंक्ति कार्यों का उपयोग किया जाता है।

• क्रेमर के नियम:

  • क्रेमर का नियम एक नॉन-सिंग्युलर संकलनीय मैट्रिक्स को संबंधित लीनियर समीकरणों के एक समाधान ढूंढने के लिए एक सूत्र प्रदान करता है। इसमें मूल्यांकक मैट्रिक्स और उसकी उप-मैट्रिक्सों का निर्धारक गणना शामिल होती है।

• मैट्रिक्स का प्रतिलोम

  • एक वर्ग मैट्रिक्स का प्रतिलोम एक अद्वितीय मैट्रिक्स है जो जब मूल मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, तो पहले मैट्रिक्स माइडेंटि होता है। सभी मैट्रिक्स का प्रतिलोम नहीं होता है, और प्रतिलोम योजना की विभिन्न विधियों, जैसे सहायक विधि या गौस-जोर्डन समाप्ती द्वारा प्राप्त कर सकते हैं।

अवकलज और अवकलज बहुवैक्टर

संकल्पनाएं:

• मैट्रिक्स के अवकलज वह स्केलब्यक्ति होते हैं जिनके लिए मैट्रिक्स परिवर्तन सूत्र मूल वेक्टर का एक स्केलब्यक्ति संस्करण उत्पन्न करती है।

• अवकलज और अवकलज बहुवैक्टरों की गुणधर्म:

  • मैट्रिक्स के अवकलज मूल वेक्टरों के वर्गद्वारा जड़ होते हैं।
  • भिन्न-भिन्न अवकलजों के लिए अवकलज बहुवैक्टर लीनियररूपी अनसंबंधि होते हैं।
  • में सममिति मैट्रिक्स के अवकलज बहुवैक्टर एक दूसरे के लिए लगभगलक्षी रहते हैं।

समान मैट्रिक्स

संकल्पनाएं:

• यदि एक एकस्थानीय संकलीन करणी मैट्रिक्स P मौजूद होती है जिसके द्वारा B = P^-1AP, तो दो मैट्रिक्स समान कहलाती हैं।
• समान मैट्रिक्सों की गुणधर्म:
• समान मैट्रिक्सों के समान अवकलज होते हैं।
• समान मैट्रिक्सों का समान प्रतिलोमय होता है।
• समान मैट्रिक्स अलग-अलग आधारों में अलग मापदण्डी परिवर्तन को प्रदर्शित करती हैं।