जीई (JEE) और सीबीएसई परीक्षाओं में प्रायिकता में ध्यान देने योग्य अवधारणाएं

• मूल अवधारणाएं:

  • नमूना स्थान: प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट।
  • घटनाएँ: नमूना स्थान का उपसेट।
  • समान रूप से संभावित घटनाएँ: ऐसी घटनाएँ जो घटित होने की समान प्रायिकता रखती हैं।

• शर्तावली प्रायिकता:

  • शर्तावली प्रायिकता: एक घटना की प्रायिकता, जब दूसरी घटना पहले से ही हो चुकी हो, की।
  • बेज का सिद्धांत: शर्तावली प्रायिकताओं की गणना करने के लिए एक सूत्र।

• प्रायोज्य संख्याओं (Random Variables):

  • प्रायोज्य संख्या: एक प्रयोग के प्रत्येक परिणाम को एक संख्यात्मक मूल्य आवंटित करने वाली फ़ंक्शन।
  • प्रायिकता भार फ़ंक्शन: प्रायोज्य संख्या के प्रत्येक संभावित मान की प्रायिकता देने वाली फ़ंक्शन।
  • कुल वितरण फ़ंक्शन: एक फ़ंक्शन जो एक दिए गए मान से कम या उसके बराबर मान को प्रायोज्य संख्या लेती है।

• बाइनोमियल वितरण (Binomial Distribution):

  • बाइनोमियल वितरण: एक अविच्छिन्न प्रायिकता वितरण, जो n निर्दिष्ट अपने स्थानिक या अपने समय में होने वाले प्रयोगों के संख्या की प्रायिकता देता है, प्रत्येक के साथ प्रभावशील प्रायिकता p से सफलता प्राप्त करता है।
  • बाइनोमियल वितरण का माध्यमांक और विचलन: $$ E(X)=np, V(X)=npq $$ यहाँ: $$ n = \text{अविच्छिन्न प्रयोगों की संख्या}, p= \text{प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता}, q=\text{प्रत्येक प्रयोग में असफलता की प्रायिकता}$$

• सामान्य वितरण (Normal Distribution):

  • सामान्य वितरण: एक अविच्छिन्न प्रायिकता वितरण जो अपने औसत के बारे में सममिति रखता है, जिसकी संभावना वितरण की सीमा से बहुत आगे जाती है।
  • मान और विचलन सामान्य वितरण का: $$ E(X)=\mu, V(X)=\sigma^2$$ यहाँ: $$ \mu = \text{वितरण का औसत}, \sigma=\text{मानक विचलन}$$

• प्वाइसन वितरण (Poisson Distribution):

  • प्वाइसन वितरण: एक अविच्छिन्न प्रायिकता वितरण जो समय या स्थान की निर्दिष्ट अवधि के भीतर की घटनाओं की संख्या देता है।
  • प्वाइसन वितरण का माध्यमांक और विचलन: $$ E(X)=\lambda, V(X)=\lambda$$ यहाँ: $$ \lambda = \text{प्रति इकाई समय या स्थान में घटित होने वाली घटनाओं की औसत संख्या}$$

• प्रायिकता के अनुप्रयोग:

  • जेनेटिक्स में प्रायिकता: प्रायिकता का उपयोग गुणों की विरासत का अध्ययन करने और निश्चित आनुवंशिक परिणामों की प्रायिकता की पूर्वानुमान लगाने के लिए किया जाता है।
  • कतार सिद्धांत में प्रायिकता: प्रायिकता का उपयोग कतारों के व्यवहार का अध्ययन करने और ग्राहकों के प्रतीक्षा समय को कम करने के लिए आवश्यक सर्वरों की सर्वोत्तम संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
  • निर्णय लेने में प्रायिकता: प्रायिकता का उपयोग अनिश्चितता के तहत निर्णय लेने के लिए किया जाता है, विभिन्न विकल्पों के उम्मीदित मान की गणना करके और उम्मीदित मान में सबसे ऊपरी विकल्प का चयन करके।