जेईई परीक्षा और सीबीएसई बोर्ड परीक्षाओं के लिए लॉगारिदम पर ध्यान देने के अंश:

• **लॉगारिदम की परिभाषा**: एक संख्या \(x\) के लॉगारिदम का आधार \(b\) के लिए, जिसे \(\log_b x\) के रूप में चिह्नित किया जाता है, \(b\) को \(x\) प्राप्त करने के लिए उठाने वाली घात है।
• **लॉगारिदम के नियम**: - \(\log_b(xy)=\log_b x + \log_b y\) - \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y\) - \(\log_b x^n=n\log_b x\) - \(\log_bb=1\) - \(\log_b 1=0\)
• **सामान्य लॉगारिदम और प्राकृतिक लॉगारिदम**: सामान्य लॉगारिदम की आधार 10 होती है, और इसे \(\log x\) के रूप में दर्शाया जाता है। प्राकृतिक लॉगारिदम की आधार \(e\) होती है और इसे \(\ln x\) के रूप में दर्शाया जाता है।
• **लॉगारिदम के आधार का परिवर्तन**: एक संख्या \(x\) के लॉगारिदम को किसी भी अन्य आधार \(a\) के लॉगारिदम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इस सूत्र का उपयोग करके: \(\log_b x=\frac{\log_a x}{\log_a b}\)।
• **लॉगारिदमिक फ़ंक्शन और उनके ग्राफ़**: लॉगारिदमिक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका प्रारूप \(f(x)=\log_b x\) होता है, यहाँ \(b>0\) और \(b\ne 1\) है। एक लॉगारिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक बढ़ती हुई कर्व होती है जो बिंदु \((1,0)\) से गुजरती है।
• **लॉगारिदमिक समीकरणों का हल**: लॉगारिदमिक समीकरणों को रीक्षित करके और फिर सरल करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण \(\log_2 x = 3\) को \(2^3 = x\) के रूप में पुनर्लेखित किया जा सकता है, जो \(x=8\) में सरल हो जाता है।
• **लॉगारिदम के अनुप्रयोग**: लॉगारिदम कई क्षेत्रों में विभिन्न अनुप्रयोगों का होता है, जिनमें: - pH की गणना: एक विलय का pH विधि निर्धारित की जाती है \(-log[H^+]\), यहाँ \([H^+]\) मोल प्रति लीटर में हाइड्रोजन आयनों की घनता है। - ध्वनि प्रतिष्ठान: एक ध्वनि तरंग की प्रतिष्ठा डेसीबेल में मापी जाती है, जो \(10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)\) के रूप में निर्धारित की जाती है, यहाँ \(I\) ध्वनि तरंग की प्रतिष्ठा होती है और \(I_0\) एक संदर्भ प्रतिष्ठा होती है। - इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग: लॉगारिदम इलेक्ट्रिकल सर्किटों के डिजाइन और विश्लेषण में उपयोग होते हैं, जैसे कि एंपलीफायर और फिल्टर।
• **परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनें**: परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनें वे फ़ंक्शन हैं जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को वापस ले आती हैं। परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनें हैं: - \(sin^{-1} x\), जो साइन फ़ंक्शन का प्रतिरूप है - \(cos^{-1} x\), जो कोसाइन फ़ंक्शन का प्रतिरूप है - \(tan^{-1} x\), जो टैंजेंट फ़ंक्शन का प्रतिरूप है
• **परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों की गुणधर्मों**: - परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनें एक-एक फ़ंक्शनें हैं। - परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनें वृद्धि होने वाले फ़ंक्शनें हैं। - परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का एक सीमित डोमेन और रेंज होता है।
• **परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के ग्राफ़**: परिवर्तनीय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के ग्राफ़ होते हैं: - \(sin^{-1} x\) का ग्राफ़ एक कर्व होता है जो बिंदु \((0,0)\) से गुजरता है और उसका रेंज \(-\frac{\pi}{2}\) से \(\frac{\pi}{2}\) तक होता है। - \(cos^{-1} x\) का ग्राफ़ एक कर्व होता है जो बिंदु \((1,0)\) से गुजरता है और उसका रेंज \(0\) से \(\pi\) तक होता है।

कोण वृत्त का (tan - 1) x ग्राफ, जो बिन्दु (0,0) से होकर गुजरता है और रेंज -π/2 से π/2 तक होता है।

• **अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान**: अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय समीकरणों को अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का प्रयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण sin - 1 x = 30 डिग्री का हल करके, जिसकी साइन 30 डिग्री होती है, कोण ढूंढा जा सकता है। इस कोण को खोजने पर यह पाया जाता है कि इसका कोण माप \(π/6\) रेडियन होता है।
• **अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के उपयोग**: अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का विभिन्न क्षेत्रों में कई उपयोग होते हैं, जिनमें से कुछ निम्नलिखित हैं: - सर्वेक्षण: अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन प्रयोग किए जाते हैं, जब दो बिंदुओं के बीच के कोण तथा बिंदुओं के बीच की रेखा और संदर्भ रेखा के कोण ज्ञात हों। - नेविगेशन: अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का प्रयोग किया जाता है, जब जहाज की स्थिति और गंतव्य की दिशा ज्ञात होती है। - रोबोटिक्स: अभिन्वर्ती त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का प्रयोग रोबोटों के गतिविधि को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है, जिसमें रोबोट की जोड़ों को कितने कोणों में पलटना चाहिए, यह गणना की जाती है।