लीनियर असमेंजिकता (जेईई और सीबीएसई):

महत्वपूर्ण बिंदु:

• एक चर में लीनियर असमेंजिकता:

  • जो एकल चर, x, जैसे x> 5 या x≤ 3, जैसी असमेंजिकताएं हैं।
  • x की अनुमति वाली मानों को दर्शाने के लिए नंबर रेखा पर खुले या बंद वृत्ताकारों के साथ प्रतिष्ठित की जा सकती है।

• दो चरों में लीनियर असमेंजिकता:

  • 3x + 4y ≥ 12 या 2x - y < 5 जैसे दो चरों, x और y को शामिल करने वाली असमेंजिकताएं हैं।
  • योगय विभाजन (असमेंजिकता को पूरा करने वाले क्षेत्र) को एक समतली तंत्र पर छादित करके यात्रिकी रूप में प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

• लीनियर असमेंजिकता का ग्राफिक प्रतिष्ठान:

  • दो चरों में एक लीनियर असमेंजिकता का ग्राफ बनाने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

    1. समीकरण ज्यामिति-छेद आकार में रूपांतर लीजिए (y = mx + b) यदि यह पहले से उसी रूप में नहीं है।
    2. सीमा रेखा (समीकरण को प्रतिष्ठित करने वाली रेखा) को मजबूत रेखा का उपयोग करके प्लाट करें यदि असमेंजिकता ≤ या ≥ है, और एक खाली रेखा का उपयोग करके प्लाट करें यदि असमेंजिकता < या> है।
    3. असमेंजिकता प्रतीक के आधार पर सीमा रेखा के ऊपर या नीचे योग्य क्षेत्र को छढ़ाएं।

• लीनियर असमेंजिकता के बीजगणितीय समाधान:

  • एक लीनियर असमेंजिकता को बीजगणितीय रूप से हल करने के लिए, असमेंजिकता चिन्ह के एक ओर मानक को अलग करें।

• लीनियर असमेंजिकता के अनुप्रयोग:

  • लीनियर असमेंजिकता का उपयोग किया जा सकता है:
    • योग्य क्षेत्र खोजना: एक लीनियर असमेंजिकताओं के प्रणाली को पूरा करने वाले बिंदुओं का सेट।
    • अधिकतम या न्यूनतम मूल्य का खोजना: संकेतों के अधीन एक संख्यात्मक कार्य की अधिकतम या न्यूनतम मान खोजना (लीनियर असमेंजिकताओं के अधीन)।

• लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याएं:

  • एक प्रकार की अधिकता समस्या जहां उद्देश्य फ़ंक्शन और सीमाओं सभी लीनियर होते हैं।
  • ग्राफिक या बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

• आधी-चतुर्भुज सिद्धांत और उनके अनुप्रयोग:

  • एक सिद्धांत जो कहता है कि एक रेखा कटा समतल को दो आधी-चतुर्भुजों में विभाजित करती है।
  • लीनियर असमेंजिकता की प्रणाली के योग्य क्षेत्र में एक बिंदु के बारे में निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

• लीनियर असमेंजिकता की प्रणालियाँ:

  • दो या दो से अधिक लीनियर असमेंजिकताएं का सेट।
  • ग्राफिक या बीजगणितीय तरीकों से हल किया जा सकता है।

• गैर-लीनियर असमेंजिकताएं (द्वाघाती, व्यापक, लघुलोधारी, आदि):

  • x^2 - 4x + 3 ≤ 0 या e^x > 5 जैसी गैर-लीनियर फ़ंक्शनों को शामिल करने वाली असमेंजिकताएं हैं।
  • समझदारी की साधन या बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, फ़ंक्शन की प्रमाणिता पर निर्भर करता है।