अनंत श्रृंखला के संकेत - JEE और बोर्ड परीक्षाओं के लिए

संकेत:

• संगति और विचलन:

  • एक अनंत श्रृंखला तभी संगत होती है जब इसके अवकलीय योग की सीमा को निर्दिष्ट नियतिश में पहुंचती है, जबकि यदि अवकलीय योग असीमित हो तो श्रृंखला विचलित होती है।

• अनुपात परीक्षण:

  • यदि ( \lim\limits_{n\to\infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L ) मौजूद है, तो श्रृंखला ( \sum a_n ) संगत होती है यदि ( L < 1 ), और विचलित होती है यदि ( L >1 ) या ( L ) मौजूद नहीं होता है।

• मूल परीक्षण:

  • यदि ( \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{ | a_n |} = L ) है, तो श्रृंखला ( \sum a_n ) संगत होती है यदि ( L <1 ), और विचलित होती है यदि ( L >1 )।

• तुलना परीक्षण:

  • सीमांत तुलना परीक्षण:
    • यदि ( \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = L ), जहां ( L ) एक सीमित अग्रेकांक का निश्चित गणक है, तो ( \sum a_n ) और ( \sum b_n ) दोनों संगत होती हैं या दोनों विचलित होती हैं।
  • अनुपात तुलना परीक्षण:
    • यदि ( \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{|a_n|}{|b_n|} = L ), जहां ( L ) एक सीमित अग्रेकांक का निश्चित गणक है, तो ( \sum a_n ) और ( \sum b_n ) दोनों संगत होती हैं या दोनों विचलित होती हैं।

• तदनुकरण श्रृंखला परीक्षण:

  • यदि ( a_{n+1} \le a_n ), और ( \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 ), तो ( \sum (-1)^n a_n ) संगत होती है।

• इंटीग्रल परीक्षण:

  • यदि ( f(x) ) अंतर्वाल ( [k, \infty) ) पर सतत, सकारात्मक, और घटती है, जहां ( k ) एक पूर्णांक है, तो श्रृंखला ( \sum\limits_{n=k}^\infty f(x) ) और इंटीग्रल ( \int\limits_k^\infty f(x) dx) या तो दोनों संगत होती हैं या दोनों विचलित होती हैं।

• पी श्रृंखला:

  • श्रृंखला ( \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^p} ) संगत होती है यदि ( p>1 ) है और विचलित होती है यदि ( p\le1 ) है।

• त्रिटल श्रृंखला:

  • एक ऐसी श्रृंखला जिसका प्रारूप ( \sum\limits_{n=1}^\infty (a_{n+1} - a_n) ) है, को एक त्रिटल श्रृंखला कहा जाता है। इसे सरल अंशी में संकेत में बदलकर, एक संगत श्रृंखला मिलती है।

• कॉसी का nवां मूल परीक्षण:

  • यदि ( \lim\limits_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = L ), तो श्रृंखला ( \sum a_n ) संगत होती है यदि ( L<1 ) है और विचलित होती है यदि ( L>1 ) या (L) मौजूद नहीं होता है।