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डिफरेंशियल समीकरण का क्रम और डिग्री:

• डिफरेंशियल समीकरण का क्रम समीकरण में प्रकट होने वाले डिफरेंशियल के सबसे उच्च क्रम है।
• डिफरेंशियल समीकरण की डिग्री उसके सबसे ऊच्च क्रम डिफरेंशियल की सबसे ऊच्च गुणवत्ता होती है।

रैखिक और गैर-रैखिक डिफरेंशियल समीकरण:

• डिफरेंशियल समीकरण रैखिक होता है अगर इसे इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+…+a_1y’+a_0y=b$$ यहां (a_n\ne 0) और (b) निर्दिष्ट संख्याएं होती हैं।
• डिफरेंशियल समीकरण गैर-रैखिक होता है अगर यह रैखिक डिफरेंशियल समीकरण के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

समान और गैर-समानश्रेणीय डिफरेंशियल समीकरण:

• डिफरेंशियल समीकरण एक प्रकार होता है जो इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+…+a_1y’+a_0y=0$$ यहां (a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0) निर्दिष्ट संख्याएं होती हैं।
• डिफरेंशियल समीकरण गैर-समानश्रेणीय होता है अगर यह समानश्रेणीय डिफरेंशियल समीकरण के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

सटीक डिफरेंशियल समीकरण और एकीकरण घटक:

• एक सटीक डिफरेंशियल समीकरण एक ऐसा डिफरेंशियल समीकरण है जिसे इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ यहां (M(x,y)) और (N(x,y)) किसी क्षेत्र में निरंतर प्रथम-क्रम अवकलनीय विभेद होते हैं।
• एकीकरण घटक सटीक डिफरेंशियल समीकरण के लिए एक एकीकरण घटक है जो ऐसा है कि उत्पाद (I(x,y)M(x,y)dx + I(x,y)N(x,y)dy) एक सटीक डिफरेंशियल होता है।

अभियांत्रिक भाजन:

• अभियांत्रिक भाजन का तरीका कुछ पहले के डिफरेंशियल समीकरणों को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
• एक पहले क्रम डिफरेंशियल समीकरण को अलग करने के लिए, हम समीकरण को इस प्रारूप में लिखते हैं: $$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$ और फिर समीकरण के दोनों पक्षों का अंशीकरण करते हैं।

पहले क्रम और पहले डिग्री रैखिक डिफरेंशियल समीकरण:

• पहले क्रम और पहले डिग्री के रैखिक डिफरेंशियल समीकरण एक समीकरण है जिसे इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ यहां (P(x)) और (Q(x)) कुछ अंतराल में निरंतर संख्याओं के रूप में होते हैं।
• इस प्रकार के डिफरेंशियल समीकरण को एक एकीकरण घटक का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

बर्नूली डिफरेंशियल समीकरण:

• एक बर्नूली डिफरेंशियल समीकरण एक समीकरण है जिसे इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$ यहां (n) एक स्थिरांक होता है।
• इस प्रकार के डिफरेंशियल समीकरण को विविध तकनीकों का उपयोग करके एक रैखिक डिफरेंशियल समीकरण में बदला जा सकता है।

रिकाटी डिफरेंशियल समीकरण:

• एक रिकाटी डिफरेंशियल समीकरण एक समीकरण है जिसे इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: $$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$$ यहां (P(x), Q(x)) और (R(x)) कुछ अंतराल में निरंतर संख्याओं होते हैं।
• इस प्रकार के डिफरेंशियल समीकरण को सामान्यतः हल करना कठिन होता है, लेकिन इसमें कुछ विशेष मामलों को विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

सटीक डिफरेंशियल समीकरण

• एक सटीक डिफरेंशियल समीकरण उस डिफरेंशियल समीकरण के लिए होता है जिसका एकीकरण घटक (1) होता है।

• एक अवकल ब्रह्म चर युक्ति को जांचने के लिए, हम पहले इसकी कुल विभाज्य जैव सभालना की गणना करते हैं। यदि यह शून्य के बराबर होता है, तो समीकरण सटीक होता है।

स्थायी सम्मिश्र गुणों के साथ उच्चतर क्रम की अवकल ब्रह्म चर युक्तियाँ:

• स्थायी सम्मिश्र गुणों के साथ उच्चतर क्रम की अवकल ब्रह्म चर युक्ति वह समीकरण है जिसका आकार इस रूप में दिया जा सकता है: $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+…+a_1y’+a_0y=0$$ यहां (a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0) स्थायी हैं।
• इस प्रकार की अवकल ब्रह्म चर युक्ति को अवधारणा के विपरीत और माप के विभिन्न उपायों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

माप के चर परिवर्तन:

• माप के चर परिवर्तन स्थायी सम्मिश्र गुणों के साथ माप के चरदीधर अवकल ब्रह्म चर युक्तियों को निष्प्रिय नहीं करने का एक उपाय है।
• इस विधि में, हम माप की दशा में द्वारीय हल के स्थायी तत्वों को (x) के साथ की ताऌिका से बदल करके परिणामी अवकल ब्रह्म चर युक्तियों के प्रतिसाद को हल करते हैं।

कॉशी-एलर समीकरण:

• कॉशी-एलर समीकरण वह अवकल ब्रह्म चर युक्ति है जो द्रुतिक मानों वाले द्वितीय क्रम के साथ चर अवशिष्ट तत्वों को लिखा जा सकता है: $$x^2y’’+ax y’ +by=0$$ यहां (a) और (b) निश्चित हैं।
• इस प्रकार की अवकल ब्रह्म चर युक्ति में चयन का संबद्धता बताने के लिए हम स्थायी सम्पत्ति (x=e^t) का उपयोग करते हैं।

लेजेंड्रे का समीकरण:

• लेजेंड्रे का समीकरण वह अवकल ब्रह्म चर युक्ति है जो चर अवशिष्ट तत्वों के साथ द्वितीय क्रम के साथ चर अवशिष्ट तत्वों को लिखा जा सकता है: $$(1-x^2)y’’ - 2xy’+\nu (\nu + 1)y=0$$ यहां (\nu) एक निश्चित संख्या है।
• इस प्रकार की अवकल ब्रह्म चर युक्ति गोलीय तारंगों के अध्ययन में महत्वपूर्ण होती है।

बेसेल के समीकरण:

• बेसेल का समीकरण वह अवकल ब्रह्म चर युक्ति है जो चर अवशिष्ट तत्वों के साथ द्वितीय क्रम के साथ चर अवशिष्ट तत्वों को लिखा जा सकता है: $$x^2y’’+xy’+(x^2-\nu^2)y=0$$ यहां (\nu) एक निश्चित संख्या है।
• इस प्रकार की अवकल ब्रह्म चर युक्ति बेसेल तत्वों के अध्ययन में महत्वपूर्ण होती है।

फ्रोबेनियस विधि:

• फ्रोबेनियस विधि विधियों के उत्तरों को नियमित संगठनीय बिंदुओं के साथ अवकल ब्रह्म चर युक्तियों का हल करने का एक उपाय है।
• इस विधि में, हम अवकल बिंदु के चारों ओर समीकरण के श्रेणी संक्रमण का एक श्रेणीविस्तार बनाते हैं और फिर श्रेणी के संक्रमण के संक्रमणकोणों का निर्धारण करते हैं।

शक्ति श्रृंगार उत्तरों:

• शक्ति श्रृंगार उत्तरों वहाँ समीकरणों के उत्तर हैं जो एक शक्ति श्रृंगार के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं।
• शक्ति श्रृंगार उत्तरों का अक्सर बिना रिगोली संदर्भ बिंदुओं वाले समीकरणों को समाधान करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

सीबीएसई संकल्पनाएं एकाधिक अवकल ब्रह्म चर युक्ति का आदेश और डिग्री:

• एक अवकल ब्रह्म चर युक्ति का आदेश समीकरण में प्रकट होने वाले मुख्य क्रम की गणना है।
• एक अवकल ब्रह्म चर युक्ति का डिग्री वह उच्चतम गुणगत सम्मिश्र तत्व का उच्चतम गुणांक है।

लिनियर और गैर-लिनियर अवकल ब्रह्म चर युक्तियाँ:

• एक अवकल ब्रह्म चर युक्ति लिनियर है यदि इसे इस रूप में लिखा जा सकता है: $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+…+a_1y’+a_0y=b$$ यहां (a_n\ne 0) और (b) निश्चित हों।
• एक अवकल ब्रह्म चर युक्ति गैर-लिनियर है यदि इसे एक लिनियर अवकल ब्रह्म चर युक्ति के रूप में लिखा नहीं जा सकता है।

धोमोगेनियस एवं नॉन-होमोगेनियस डिफरेंशियल समीकरण:

• एक डिफरेंशियल समीकरण धोमोगेनियस होता है अगर यह इस रूप में लिखा जा सकता है: $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+…+a_1y’+a_0y=0$$ जहाँ (a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0) निरंतर होते हैं।
• एक डिफरेंशियल समीकरण नॉन-होमोगेनियस होता है अगर यह एक धोमोगेनियस डिफरेंशियल समीकरण के रूप में लिखा नहीं जा सकता है।

पूर्ण डिफरेंशियल समीकरण और एकीकरण कारक:

• एक पूर्ण डिफरेंशियल समीकरण एक डिफरेंशियल समीकरण होता है जो इस रूप में लिखा जा सकता है: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ जहाँ (M(x,y)) और (N(x,y)) किसी क्षेत्र में सतत प्रथम-क्रम आंशिक अवकलनीय होते हैं।
• एक पूर्ण डिफरेंशियल समीकरण के लिए एकीकरण कारक एक समीकरण (I(x,y)) होता है जिसमें गुणन (I(x,y)M(x,y)dx + I(x,y)N(x,y)dy) एक पूर्ण डिफरेंशियल होती है।

अलगाव के तत्व:

• अलगाव की विधि का उपयोग करके कुछ पहले क्रम के डिफरेंशियल समीकरणों को हल किया जा सकता है।
• एक पहले क्रम के डिफरेंशियल समीकरण को अलगाव की विधि का उपयोग करके हल करने के लिए, हम समीकरण को इस रूप में लिखते हैं: $$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$ और फिर समीकरण के दोनों पक्षों को ऐंठते हैं।

प्रथम क्रम और प्रथम डिग्री के रैलियर डिफरेंशियल समीकरण:

• प्रथम क्रम और प्रथम डिग्री के रैलियर डिफरेंशियल समीकरण एक समीकरण होता है जो इस रूप में लिखा जा सकता है: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ जहाँ (P(x)) और (Q(x)) किसी अंतराल में सतत फ़ंक्शन होते हैं।
• इस प्रकार के डिफरेंशियल समीकरण को एकीकरण कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

बर्नूली का डिफरेंशियल समीकरण:

• बर्नूली का डिफरेंशियल समीकरण एक समीकरण होता है जो इस रूप में लिखा जा सकता है: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$ जहाँ (n) एक स्थिरांक होता है।
• इस प्रकार के डिफरेंशियल समीकरण को स्वरूपांतरण (v=y^{1-n}) करके एक रैलियर डिफरेंशियल समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।

रीकाटी का डिफरेंशियल समीकरण:

• रीकाटी का डिफरेंशियल समीकरण एक समीकरण होता है जो इस रूप में लिखा जा सकता है: $$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2$$