याद रखने के अवधारणाएं:

1. एक मैट्रिक्स का आयमक:

• वर्गक्षेत्र मैट्रिक्स के साथ जुड़ा एक औसत गणनीय मूल्य है।
• यह स्केलिंग फैक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जब मैट्रिक्स को एक वेक्टर या ज्यामिति वस्तु पर लागू किया जाता है।
• एक 2x2 मैट्रिक्स के लिए, आयमक को ad-bc के रूप में गणना की जाती है, जहां a, b, c और d मैट्रिक्स के तत्व हैं।

2. आयमकों की गुणधर्म:

• दो मैट्रिक्सों के गुणांक का गुणांकों का उत्पाद उनके आयमक के बराबर होता है।
• यदि मैट्रिक्स में एक पंक्ति या स्तंभ शून्य है, तो उसका आयमक शून्य होता है।
• दो पंक्तियों या स्तंभों के प्रतिस्थापन से आयमक का चिन्ह परिवर्तित होता है।
• एक पंक्ति (स्तंभ) में एक पंक्ति (स्तंभ) के एक गुणांक के गुणांक को जोड़ने से आयमक परिवर्तित नहीं होता है।

3. माइनर और कोफैक्टर:

• माइनर वो आयमक होते हैं जो मुख्य वर्गक्षेत्र मैट्रिक्स से एक पंक्ति और एक स्तंभ हटाकर बनाए गए उपमैट्रिक्स के होते हैं।
• कोफैक्टर्स को माइनर और संबंधित चिन्ह कारक के गुणांक का उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो पंक्ति और स्तंभ स्थानों पर निर्भर करता है।

4. एक मैट्रिक्स की आडजेट:

• एक वर्गक्षेत्र मैट्रिक्स की आडजेंट (जिसे आडजूगेट भी कहा जाता है) उसके कोफैक्टर मैट्रिक्स के परावर्तन है।
• यह इसके इंवर्स मैट्रिक्स से संबंधित है और मैट्रिक्स के इंवर्स में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

5. आयमकों का भिन्न का का उपयोग करके एक मैट्रिक्स का उलट:

• यदि एक वर्गक्षेत्र मैट्रिक्स का गैर-शून्य आयमक है, तो इसका उलट आयमक उससे मूल्यवान के द्वारा गणना की जा सकती है।

6. लीनियर समीकरण समूहों को हल करने के लिए क्रेमर के नियम:

• क्रेमर के नियम प्रायोगिकता प्राप्त करते हैं बराबर संख्या की समीकरणों वाले लीनियर समीकरण समूहों के लिए समाधान।
• प्रत्येक चर का समाधान गणना द्वारा किया जाता है, जो गुणांक मैट्रिक्स और संबंधित गुणांक के स्तंभ को कास्ट के स्थान में प्रतिस्थापित मैट्रिक्स द्वारा बनाए गए मैट्रिक्सों के निर्णायकों के साथ होती है।

7. आयमकों का उपयोग करके क्षेत्र और आयतन:

• आयमकों का उपयोग त्रिकोणीयकोणों के क्षेत्र और पैरालिपीपिडों के आयतन की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
• त्रिकोणीयकोणों के लिए, योग्यताएं जोड़ने वाले दो स्तंभ वर्टेक्स का मैट्रिक्स बनाते हैं, जिसका आयमक दोगुना क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
• किसी पैरालिपिपिड के लिए, तीन स्तंभ वर्टेक्स उसके आयतन का निर्धारण करते हैं जो आयमक के माध्यम से होता है।

8. ज्यामिति और भौतिकी में आयमकों के अनुप्रयोग:

• आयमक विभिन्न ज्यामिति संवर्धनों में जैसे कि पश्चिमावर्तन और प्रतिबिम्बण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
• बहुमुखी गणित में, आयमकों का उपयोग जेकोबियन और अनुच्छेदी महत्वपूर्ण गणनाओं के लिए किया जाता है, जहां चीर्या के अनुशासन के प्रत्येक विपरीत निर्धारण से अधिकारियों को निर्धारित करने में सहायक होते हैं।
• इनके अनुप्रयोगों में भौतिकी में भी हैं, जिसमें वैद्युत चुंबकीयता और क्वांटम सूत्रों जैसे भौतिकी में आयमक ऑपरेटर्स मानदंडित मानगणना करने का उपयोग किया जाता है।