बाइनोमियल विस्तार पर ध्यान देने के अवधारणाएं

1. बाइनोमियल विस्तार की परिभाषा: (अ + ब)^n का बाइनोमियल विस्तार ‘अ’ और ‘ब’ के घात और गुणों के रूप में व्यक्त की जाती है।

$$ (अ + ब)^n =\ ^{n}C_0 अ^n + \ ^{n}C_1 अ^{n-1}ब +\ ^{n}C_2 अ^{n-2}ब^2 + \ ^{n}C_3 अ^{n-3}ब^3 +….+\ ^{n}C_{n-1}अब^{n-1}+\ ^{n}C_{न}ब^{न} $$

2. बाइनोमियल विस्तार की सामान्य पद: (अ + ब)^n के विस्तार के rवां पद का नियम निम्न रूप में दिया गया है:

$$ T_{r+1} = \ ^{n}C_{r}अ^{n-r}ब^{r} $$

3. पास्कल का त्रिकोण और इसकी गुणधर्मों:

• पास्कल का त्रिकोण एक त्रिकोणीय संख्या सरणी है जो शीर्ष पर 1 से शुरू होकर प्रत्येक प्रविष्टि के ऊपर के दो संख्याओं को जोड़कर नीचे नियोजित की जा सकती है।

$$ \hspace{2.5cm}\boxed{\hspace{0.3}1\\hspace{0.3}1\hspace{0.3}1\\hspace{0.3}1\hspace{0.3}2\hspace{0.3}1\\hspace{0.3}1\hspace{0.3}3\hspace{0.3}3\hspace{0.3}1\\hspace{0.3}1\hspace{0.3}4\hspace{0.3}6\hspace{0.3}4\hspace{0.3}1}$$

• पास्कल के त्रिकोण में संख्याएँ बाइनोमियल संख्याएँ हैं, जो (अ + ब)^n के बाइनोमियल विस्तार में संख्याओं के रूप में होती हैं।
• पास्कल के त्रिकोण की rवां पंक्ति (अ+ब)^n के विस्तार के लिए बाइनोमियल संख्याएँ देती है।

4. अंकित और समाकलन में बाइनोमियल सिद्धांत के उपयोग:

• बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके एक फ़ंक्शन की एक पोलिनोमियल द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।
• इसके लिए फ़ंक्शन के बाइनोमियल विस्तार के पहले कुछ पद लिए जाते हैं।
• बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग केवल कुछ फ़ंक्शन के समाकलन में भी किया जा सकता है।
• इसके लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$$ \int (अ+बx)^n dx = \frac{1}{ब}\left[ \frac{(अ+बx)^{n+1}}{n+1}+C\right] $$ यहां सी संगणकन का निरंतर है।

5. नकारात्मक और भिन्न सूचकांकों के लिए बाइनोमियल सिद्धांत:

• बाइनोमियल सिद्धांत को नकारात्मक और भिन्न सूचकांकों तक निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके विस्तृत किया जा सकता है:

$$(अ+ब)^{-n} = \frac{1}{(अ+ब)^n} = \sum_{r=0}^\infin \ ^{ -n}C_r अ^{n-r}ब^r$$

$$(अ+ब)^{m/n} = \sum_{r=0}^\infin \ ^{m/n}C_r अ^{m/n-r}ब^r$$

$$ ^{m/n}C_r =\frac{m(m-1)(m-2)….(m-r+1)}{r!(न^r)}$$

• इस सूत्र का उपयोग एक नकारात्मक या भिन्न सूचकांक वाले किसी भी बाइनोमियल अभिव्यक्ति को विस्तारित करने के लिए किया जा सकता है।

6. बाइनोमियल श्रृंखला की सामंजस्यता:

• बाइनोमियल श्रृंखला (अ+ब)^n तभी सामंजस्यता रखती है जब और केवल जब |अ+ब|<1 हो।
• यदि |अ+ब|>=1 हो, तो बाइनोमियल श्रृंखला विचलित होती है।