बाइनोमियल विस्तार पर ध्यान देने के अवधारणाएं

1. बाइनोमियल विस्तार की परिभाषा: (अ + ब)^n का बाइनोमियल विस्तार ‘अ’ और ‘ब’ के घात और गुणों के रूप में व्यक्त की जाती है।

$$(अ+ब{)}^n={}^n{C}_0{अ}^n+{}^n{C}_1{अ}^{n-1}ब+{}^n{C}_2{अ}^{n-2}{ब}^2+{}^n{C}_3{अ}^{n-3}{ब}^3+\dots .+{}^n{C}_{n-1}अ{ब}^{n-1}+{}^n{C}_{न}{ब}^{न}$$

2. बाइनोमियल विस्तार की सामान्य पद: (अ + ब)^n के विस्तार के rवां पद का नियम निम्न रूप में दिया गया है:

$$T_{r+1}={}^n{C}_r{अ}^{n-r}{ब}^r$$

3. पास्कल का त्रिकोण और इसकी गुणधर्मों:

• पास्कल का त्रिकोण एक त्रिकोणीय संख्या सरणी है जो शीर्ष पर 1 से शुरू होकर प्रत्येक प्रविष्टि के ऊपर के दो संख्याओं को जोड़कर नीचे नियोजित की जा सकती है।

$$\text{Missing dimension or its units for hspace}$$

• पास्कल के त्रिकोण में संख्याएँ बाइनोमियल संख्याएँ हैं, जो (अ + ब)^n के बाइनोमियल विस्तार में संख्याओं के रूप में होती हैं।
• पास्कल के त्रिकोण की rवां पंक्ति (अ+ब)^n के विस्तार के लिए बाइनोमियल संख्याएँ देती है।

4. अंकित और समाकलन में बाइनोमियल सिद्धांत के उपयोग:

• बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके एक फ़ंक्शन की एक पोलिनोमियल द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।
• इसके लिए फ़ंक्शन के बाइनोमियल विस्तार के पहले कुछ पद लिए जाते हैं।
• बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग केवल कुछ फ़ंक्शन के समाकलन में भी किया जा सकता है।
• इसके लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$$\int (अ+बx{)}^{n}dx=\frac{1}{ब}[\frac{(अ+बx{)}^{n+1}}{n+1}+C]$$ यहां सी संगणकन का निरंतर है।

5. नकारात्मक और भिन्न सूचकांकों के लिए बाइनोमियल सिद्धांत:

• बाइनोमियल सिद्धांत को नकारात्मक और भिन्न सूचकांकों तक निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके विस्तृत किया जा सकता है:

$$(अ+ब{)}^{-n}=\frac{1}{(अ+ब{)}^n}=\sum _{r=0}^{\text{infin}}{}^{-n}{C}_r{अ}^{n-r}{ब}^r$$

$$(अ+ब{)}^{m/n}=\sum _{r=0}^{\text{infin}}{}^{m/n}{C}_r{अ}^{m/n-r}{ब}^r$$

$${}^{m/n}{C}_r=\frac{m(m-1)(m-2)\dots .(m-r+1)}{r!({न}^r)}$$

• इस सूत्र का उपयोग एक नकारात्मक या भिन्न सूचकांक वाले किसी भी बाइनोमियल अभिव्यक्ति को विस्तारित करने के लिए किया जा सकता है।

6. बाइनोमियल श्रृंखला की सामंजस्यता:

• बाइनोमियल श्रृंखला (अ+ब)^n तभी सामंजस्यता रखती है जब और केवल जब |अ+ब|<1 हो।
• यदि |अ+ब|>=1 हो, तो बाइनोमियल श्रृंखला विचलित होती है।