गणितीय प्रगतियों (एपी) के सिद्धांत:

• सामान्य अंतर (डी): एपी में सामान्य अंतर, प्रत्येक शब्द का पिछले शब्द से कैसे अलग होने का सांत्वन्यक मान होता है।

• nवां शब्द (Tn = a + (n - 1)d): एपी का nवां शब्द, सूत्र Tn = a + (n - 1)d का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां ‘a’ पहला शब्द है और ’n’ वह शब्द है जिसे आप खोजना चाहते हैं।

• n शब्दों का योग (Sn = n/2(a + an)): एपी के n शब्दों का योग सूत्र Sn = n/ 2 (a + an) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां ‘a’ पहला शब्द है, ‘an’ nवां शब्द है, और ’n’ शब्दों की संख्या है।

ज्यामितीय प्रगतियों (JP) के सिद्धांत:

• सामान्य अनुपात (r): ज्यामितीय प्रगति में सामान्य अनुपात, प्रत्येक शब्द को प्राप्त करने के लिए पिछले शब्द से गुणा किया जाने वाला सांत्वन्यक मान होता है।

• nवां शब्द (Tn = ar^(n-1)): ज्यामितीय प्रगति का nवां शब्द सूत्र Tn = ar^(n-1) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां ‘a’ पहला शब्द है, ’n’ वह शब्द है जिसे आप खोजना चाहते हैं, और ‘r’ सामान्य अनुपात है।

• n शब्दों का योग (Sn = a(rn - 1)/(r - 1)): ज्यामितीय प्रगति के n शब्दों का योग सूत्र Sn = a(rn - 1)/(r - 1) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां ‘a’ पहला शब्द है, ‘r’ सामान्य अनुपात है, और ’n’ शब्दों की संख्या है।

हारमोनिक प्रगतियों (पी) के सिद्धांत:

• हार्मोनिक माध्य (H = n/(1/a1 + 1/a2 + …)): एक संख्या ढेर का हार्मोनिक माध्य उनके हरेक रेसिप्रोकल के औसत के रूप में परिभाषित होता है।

• nवां शब्द (Tn = n/(a1 + a2 + … + an)): हारमोनिक प्रगति का nवां शब्द सूत्र Tn = n/(a1 + a2 + … + an) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां ‘a1’, ‘a2’, …, ‘an’ हारमोनिक प्रगति के शब्द हैं और ’n’ वह शब्द है जिसे आप खोजना चाहते हैं।

• n शब्दों का योग (Sn = n/H): हारमोनिक प्रगति के n शब्दों का योग सूत्र Sn = n/H का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां ‘H’ हार्मोनिक माध्य है और ’n’ शब्दों की संख्या है।

अन्य महत्वपूर्ण सिद्धांत:

• गणितीय, ज्यामितीय और हार्मोनिक माध्य प्रॉपर्टीज: गणितीय माध्य (औसत) हमेशा ज्यामितीय माध्य से अधिक या उसके बराबर होता है, जो हार्मोनिक माध्य के बराबर या उससे अधिक होता है।

• गणितीय-ज्यामितीय (ए॰जी॰) माध्य: दो सकारात्मक संख्याओं का गणितीय-ज्यामितीय (ए॰जी॰) माध्य उनके उत्पाद का सकारात्मक मूल होता है।

• ज्यामितीय-हार्मोनिक (जी॰ए॰) माध्य: दो सकारात्मक संख्याओं का ज्यामितीय-हार्मोनिक (जी॰ए॰) माध्य उनके ज्यामितीय माध्य और गणितीय माध्य के हार्मोनिक माध्य के बराबर होता है।

• अनंत तक का योग (ज्ञातिक ज्ञातित्व) एक ज्यामितीय प्रगति का: एक ज्ञातिक ज्ञातित्व वाली संख्याओं की अवक्रन्दी प्रगति का अनंत तक का योग सूत्र S∞ = a/(1 - r) द्वारा दिया जाता है, जहां ‘a’ पहला शब्द है और ‘r’ सामान्य अनुपात है।