वेइबुल वितरण

वेइबुल वितरण एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जो किसी निर्दिष्ट घटना होने तक का समय का वितरण वर्णित करता है। इसका नाम वेलोडी वेइबुल नामक स्वीडिश गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1939 में पहली बार इसकी प्रस्तावना की थी।

वेइबुल वितरण की विशेषताएं

वेइबुल वितरण को दो पैरामीटरों से चरित्रित किया जाता है: मापांक पैरामीटर $\lambda$ और आकार पैरामीटर $k$। मापांक पैरामीटर वितरण की फैलाव को निर्धारित करता है, जबकि आकार पैरामीटर वितरण की टेड़पन को निर्धारित करता है।

• मापांक पैरामीटर $\lambda$: मापांक पैरामीटर $\lambda$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है जो वितरण की फैलाव को निर्धारित करती है। $\lambda$ की मान जितनी अधिक होगी, वितरण उत्पन्न होगा।
• आकार पैरामीटर $k$: आकार पैरामीटर $k$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है जो वितरण की टेड़पन को निर्धारित करती है। जब $k < 1$ हो, वितरण बाएं ओर टेड़्ता है। जब $k = 1$ हो, वितरण सममिति होता है। जब $k > 1$ हो, वितरण दाएं ओर टेड़्ता है।

वेइबुल वितरण की प्रायिकता घटक फ़ंक्शन

वेइबुल वितरण की प्रायिकता घटक फ़ंक्शन (PDF) इस प्रकार होती है:

$$f(x) = \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}$$

जहां:

• $x$ एक यादृच्छिक परिमाण है
• $\lambda$ मापांक पैरामीटर है
• $k$ आकार पैरामीटर है

वेइबुल वितरण का कुम्युलेटिव वितरण फ़ंक्शन

वेइबुल वितरण का कुम्युलेटिव वितरण फ़ंक्शन (CDF) इस प्रकार होता है:

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}$$

जहां:

• $x$ एक यादृच्छिक परिमाण है
• $\lambda$ मापांक पैरामीटर है
• $k$ आकार पैरामीटर है

वेइबुल वितरण के अनुप्रयोग

वेइबुल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• सहायकता अभियांत्रिकी: वेइबुल वितरण का उपयोग घटना के समय के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• सुरक्षा विश्लेषण: वेइबुल वितरण का उपयोग जनसंख्या में इंसानों की मृत्यु तक के समय के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• वित्तीय मॉडलिंग: वेइबुल वितरण का उपयोग निवेश पर लाभ के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• बीमा: वेइबुल वितरण का उपयोग मुद्दों के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।

वेइबुल वितरण एक विविध और शक्तिशाली प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न जगहों में सांख्यिकियकों और अभ्यासकर्ताओं के लिए एक मूल्यवान उपकरण है।

वेइबुल वितरण का सूत्र

वेबुल वितरण का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) इस प्रकार है:

$$f(x) = \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

जहां:

• $\alpha$ स्केल पैरामीटर है, जो वितरण का विशेष जीवन का प्रतीक होता है।
• $\beta$ आकार पैरामीटर है, जो वितरण की आकार तय करता है।

कुल प्रवाह फ़ंक्शन

वेबुल वितरण का कुल प्रवाह फ़ंक्शन (सीडीएफ) इस प्रकार है:

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

जोखिम फ़ंक्शन

वेबुल वितरण का जोखिम फ़ंक्शन इस प्रकार है:

$$h(x) = \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1}$$

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास एक कम्पोनेंट है जिसका वेबुल वितरण $\alpha = 100$ और $\beta = 2$ है। 50 घंटे के पहले कंपोनेंट असफल होने की संभावना निम्न चरण में दी गई है:

$$P(X < 50) = 1 - e^{-(50/100)^2} = 0.197$$

इसका मतलब है कि पहले 50 घंटे में कंपोनेंट असफल होने की 19.7% संभावना है।

वेबुल वितरण की गुनवत्ताएं

वेबुल वितरण एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग विश्वसनीयता इंजीनियरिंग में विफलता समय का वितरण मॉडल करने के लिए अक्सर किया जाता है। यह 1939 में स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेबुल द्वारा प्रस्तावित किया गया है।

प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन

वेबुल वितरण का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) इस प्रकार है:

$$f(x) = \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

जहां:

• $\alpha$ स्केल पैरामीटर है
• $\beta$ आकार पैरामीटर है

कुल प्रवाह फ़ंक्शन

वेबुल वितरण का कुल प्रवाह फ़ंक्शन (सीडीएफ) इस प्रकार है:

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

वेबुल वितरण की आकार

वेबुल वितरण का आकार स्केल और आकार पैरामीटरों के मानों के आधार पर भिन्न हो सकता है।

• जब $\beta < 1$ हो, तो वितरण घटती हुई असफलता दर (डीएफआर) होती है।
• जब $\beta = 1$ हो, तो वितरण एक घनत्वावधिय वितरण होता है।
• जब $\beta > 1$ हो, तो वितरण बढ़ती हुई असफलता दर (आईएफआर) होती है।

वेबुल वितरण का औसत

वेबुल वितरण का औसत इस प्रकार है:

$$E(X) = \alpha \Gamma\left(1 + \frac{1}{\beta}\right)$$

जहां $\Gamma(\cdot)$ गामा फ़ंक्शन है।

वेबुल वितरण का वेरियंस

वेबुल वितरण का वेरियंस इस प्रकार है:

$$V(X) = \alpha^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{\beta}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{\beta}\right)\right]$$

वेबुल वितरण के अनुप्रयोग

वेबुल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• विश्वसनीयता इंजीनियरिंग
• जीवित अध्ययन
• चरम मान विश्लेषण
• वित्तीय मॉडेलिंग
• बीमा

वेबुल पैरामीटर

वेबुल वितरण एक निरंतर संभावना वितरण है जो किसी घटक या प्रणाली के विफलता के समय का मॉडलिंग करने के लिए उपयोग होता है। इसे 1939 में स्वीडिश गणितज्ञ वालोद्दी वेबुल ने प्रस्तावित किया था।

वेबुल वितरण के दो पैरामीटर होते हैं:

• स्केल पैरामीटर (बीटा): स्केल पैरामीटर किसी घटक या प्रणाली के लक्षणिक जीवन को प्रतिष्ठानित करता है। यह एक संयुक्त वितरण कार्यक्रम (सीडीएफ) जिसमें समय के समानता है, वह यादृच्छिक परिवर्ती की मान होती हैं जहां सीडीएफ बराबर है 0.632 के समान।
• आकार पैरामीटर (अल्फा): आकार पैरामीटर वितरण का आकार दर्शाता है। इससे स्वाभाविक भ्रमण में विफलता दर समय के साथ कैसे बढ़ता है यह निर्धारित करता है।

स्केल पैरामीटर (बीटा)

स्केल पैरामीटर (बीटा) वेबुल वितरण की केंद्रीय इच्छाएं का माप है। यह एक संयुक्त वितरण कार्यक्रम (सीडीएफ) जिसमें समय के समानता है, वह यादृच्छिक परिवर्ती की मान होती हैं जहां सीडीएफ बराबर है 0.632 के समान। इसका अर्थ है कि स्केल पैरामीटर से पहले असफलता की संभावना 0.632 होती है और स्केल पैरामीटर के बाद असफलता की संभावना 0.368 होती है।

स्केल पैरामीटर का आमतौर पर असफलता डेटा के माध्यम से अनुमान लगाया जाता है। माध्यम वह मान होता है जो डेटा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। वेबुल वितरण के लिए, माध्यम निम्न रूप में दिया जाता है:

$$माध्य = बीटा * (ln 2)^{1/अल्फा}$$

आकार पैरामीटर (अल्फा)

आकार पैरामीटर (अल्फा) वेबुल वितरण का छित्रण करने का माप है। इससे स्वाभाविक भ्रमण में विफलता दर समय के साथ कैसे बढ़ता है यह निर्धारित करता है। अल्प मान यह दिखाता है कि समय के साथ विफलता दर धीमी गति से बढ़ती है, जबकि अधिक मान यह दिखाता है कि समय के साथ विफलता दर कमतरता से बढ़ती है।

आकार पैरामीटर आमतौर पर असफलता डेटा के लॉग-लॉग प्लॉट के ढाल का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है। लॉग-लॉग प्लॉट एक ऐसा प्लॉट है जिसमें विफलता समय का लघुमत्र समय के लघुमत्र तथा संचयी विफलता संभावना का लघुगणक लघुगणना है। वेबुल वितरण के लिए, लॉग-लॉग प्लॉट लंबके के साथ एक सीधी रेखा होती है जिसकी ढाल अल्फा होती है।

वेबुल वितरण का उपयोग

वेबुल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• प्रामाणिकता इंजीनियरिंग: वेबुल वितरण का उपयोग अवयस्त और प्रणालियों के विफलता के समय का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• गुणवत्ता नियंत्रण: वेबुल वितरण का उपयोग उत्पादों और प्रक्रियाओं की गुणवत्ता की निगरानी के लिए किया जाता है।
• सर्वाइवल विश्लेषण: वेबुल वितरण का उपयोग रोगियों के सर्वाइवल समय का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• बीमा: वेबुल वितरण का उपयोग बीमा नीतियों के दावे के समय का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।

वेबुल वितरण घटकों और प्रणालियों के विफलता के समय का मॉडल बनाने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। यह एक अनुकूलनीय वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार के विफलता प्रक्रियाओं का मॉडल बनाने के लिए किया जा सकता है।

वेबुल वितरण प्लॉट

वेबुल वितरण एक निरंतर संभावना वितरण है जो विफलता के समय का वितरण मॉडल बनाने के लिए उपयोग होता है। यह व्यापकता में एक्सपोनेंशियल वितरण का सामान्यीकरण है और स्वीडिश गणितज्ञ वालोद्दी वेबुल के नाम पर रखा गया है।

वेबुल वितरण की विशेषताएं

वाइबुल वितरण के पास एक संख्या गुण होते हैं जो इसे असफलता के समय मोडलिंग के लिए उपयोगी बनाते हैं। ये गुणधर्म निम्न प्रकार के होते हैं:

• वाइबुल वितरण एक एक-चुंबकीय वितरण है, इसका अर्थ है कि इसकी एक एकल चोटियाँ होती हैं।
• वाइबुल वितरण एक ढली हुई वितरण है, इसका अर्थ है कि वितरण का पूंछ एक ओर से दूसरी ओर बड़ा होता है।
• वाइबुल वितरण के पास एक पैमाना मापक और एक आकार मापक होते हैं। पैमाना मापक वितरण के फैलाव का निर्धारण करता है, जबकि आकार मापक वितरण के ढलान का निर्धारण करता है।

वाइबुल वितरण को प्लॉट करना

वाइबुल वितरण को कई तरीकों से प्लॉट किया जा सकता है। एक सामान्य तरीका है एक वाइबुल संभावना प्लॉट का उपयोग करना। वाइबुल संभावना प्लॉट वाइबुल वितरण के कुलीय वितरण कार्यक्रम (CDF) का विग्रहीत प्रतिनिधित्व होता है।

वाइबुल संभावना प्लॉट बनाने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाता है:

1. डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
2. डेटा का CDF मापा जाता है।
3. CDF को डेटा के प्राकृतिक लोगारिद्म (natural logarithm) के साथ प्लॉट किया जाता है।

परिणामस्वरूप प्लॉट एक सीधी रेखा होगी अगर डेटा वाइबुल वितरण का पालन करता है।

वाइबुल वितरण असफलता के समय के वितरण के मोडल करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। यह एक लचीला वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार के डेटा के मोडल करने के लिए किया जा सकता है।

सोल्व्ड उदाहरण

उदाहरण 1: एक वृत्त के इलाक़े को ढूंढें

समस्या: एक वृत्त के इलाक़े की क्षेत्रफल ढूंढें जिसका त्रिज्या 5 सेंटीमीटर है।

समाधान:

1. एक वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र है $A = \pi r^2$, यहाँ $A$ क्षेत्रफल है, $r$ त्रिज्या है, और $\pi$ एक गणितीय स्थायी लगहर लगभग 3.14 के बराबर है।
2. सूत्र में $r = 5$ सेंटीमीटर को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $A = \pi (5)^2 = 25\pi$ सेंटीमीटर$^2$ मिलता है।
3. इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल $25\pi$ सेंटीमीटर$^2$ है।

उदाहरण 2: एक रैखिक समीकरण का समाधान करें

समस्या: रैखिक समीकरण $3x + 5 = 17$ का समाधान करें।

समाधान:

1. समीकरण के दोनों ओर से 5 को कटाएं: $3x + 5 - 5 = 17 - 5$।
2. सरल करें: $3x = 12$।
3. समीकरण के दोनों ओर से 3 से विभाजित करें: $\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$।
4. सरल करें: $x = 4$।
5. इसलिए, रैखिक समीकरण का समाधान $x = 4$ है।

उदाहरण 3: एक घन के आयाम का पता लगाएँ

समस्या: एक घन के आयाम का मात्रा 4 सेंटीमीटर है।

समाधान:

1. एक घन के आयाम के लिए सूत्र है $V = s^3$, यहाँ $V$ आयाम है और $s$ संपत्ति की ओर है।
2. सूत्र में $s = 4$ सेंटीमीटर को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $V = (4)^3 = 64$ सेंटीमीटर$^3$ मिलता है।
3. इसलिए, घन का आयाम $64$ सेंटीमीटर$^3$ है।

उदाहरण 4: एक द्विघातात्मक समीकरण का समाधान करें

समस्या: द्विघातात्मक समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ का समाधान करें।

समाधान:

1. हम इस समीकरण को घातीय सूत्र का उपयोग करके समाधान कर सकते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, यहाँ $a$, $b$, और $c$ द्विघातात्मक समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के संकेतक हैं।
2. इस मामले में, $a = 1$, $b = -5$, और $c = 6$ हैं। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
3. इसे सरलीकृत करें: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
4. सरलीकृत करें: $x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$
5. इसलिए, द्विघातात्मक समीकरण का समाधान $x = \frac{5 \pm 1}{2}$ है।

प्रश्न 1: हल करें $ x = \frac {- (- 5) \pm \sqrt {(- 5) ^ 2 - 4 (1) (6)}} {2 (1)} $

$$ = \frac {5 \pm \sqrt {25 - 24}} {2} $$

$$ = \frac {5 \pm 1} {2} $$

3. इसलिए, द्विघातीय समीकरण के समाधान हैं $ x = 2 $ और $ x = 3 $।

उदाहरण 5: एक फ़ंक्शन का अवकलज पता करें

समस्या: फ़ंक्शन $f (x) = x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x - 4$ का अवकलज पता करें।

समाधान:

1. एक फ़ंक्शन का अवकलज उसके इनपुट के साथ फ़ंक्शन की परिवर्तन दर है।
2. $f (x)$ का अवकलज पता करने के लिए, हम परिवर्तन के शक्ति नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो कहता है कि $x ^ n$ का अवकलज $nx ^ {n-1}$ है।
3. अपनाते हुए शक्ति संहिता, हम प्राप्त करते हैं:

$$ f ‘(x) = \frac {d} {dx} (x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x - 4) $$

$$ = 3x ^ 2 - 4x + 3 $$

4. इसलिए, $ f ‘(x) = 3x ^ 2 - 4x + 3 $।

वेबुल वितरण FAQs

वेबुल वितरण क्या है?

वेबुल वितरण एक कोणीय संभावना वितरण है जो एक प्रणाली में असफलता तक का समय का वितरण वर्णित करता है। इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोद्दी वेबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1939 में पहली बार इसे प्रस्तावित किया था।

वेबुल वितरण के पैरामीटर क्या हैं?

वेबुल वितरण के दो पैरामीटर होते हैं:

• माप पैरामीटर (λ): यह पैरामीटर प्रणाली का चरक जीवन को प्रतिष्ठान करता है। यह ऐसा समय है जिसमें असफलता की संभावना 63.2% होती है।
• आकार पैरामीटर (k): यह पैरामीटर वितरण के आकार को प्रतिष्ठान करता है। k <1 का मान कम होने वाले असफलता दर को दिखाता है, k = 1 का मान स्थिर असफलता दर को दिखाता है, और k> 1 का मान बढ़ती असफलता दर को दिखाता है।

वेबुल वितरण की गुणवत्ताएं क्या हैं?

वेबुल वितरण की कई गुणवत्ताएं हैं जो समय-से-असफलता डेटा के मॉडलिंग के लिए उपयोगी बनाती हैं। इन गुणवत्ताओं में शामिल हैं:

• वेबुल वितरण एक आकारिक वितरण है, जिसका मतलब है कि इसमें एक एकल मोड होता है।
• वेबुल वितरण एक तिरिया वितरण है, जिसका मतलब है कि वितरण की पुचस्ति दूसरे बाजु से ज्यादा लंबी होती है।
• वेबुल वितरण एक भारी पूंछ वितरण होता है, जिसका मतलब है कि बड़े असफलता समय की संभावना छोटे असफलता समय की संभावना से अधिक होती है।
• वेबुल वितरण एक विविध वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न असफलता समय डेटा के मॉडलिंग के लिए किया जा सकता है।

वेबुल वितरण का उपयोग कैसे किया जाता है?

वेबुल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• विश्वस्त्रुति इंजीनियरिंग: वेबुल वितरण का उपयोग घटकों और प्रणालियों के लिए असफलता के समय का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।
• गुणवत्ता नियंत्रण: वेबुल वितरण का उपयोग उत्पादों और प्रक्रियाओं की गुणवत्ता का मॉनिटरिंग करने के लिए किया जाता है।
• सर्वाइवल एनालिसिस: वेबुल वितरण का उपयोग मरीज़ और अन्य व्यक्तियों की सर्वाइवल समय का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।
• बीमा: वेबुल वितरण का उपयोग बीमा नीतियों के दावा के समय का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।

वेबुल वितरण की कुछ सीमाएं क्या हैं?

वेबुल वितरण की कुछ सीमाएं हैं, जो समेत हैं:

• वैबुल वितरण समय-विफलता डेटा की मॉडलिंग करने के लिए हमेशा सबसे अच्छा वितरण नहीं होता है। कुछ प्रकार के डेटा के लिए अन्य वितरण अधिक उपयुक्त हो सकते हैं।
• वेबुल वितरण डेटा को फिट करना थोड़ा मुश्किल हो सकता है, खासकर जब डेटा सेंसर होता है।
• वेबुल वितरण आउटलायर्स के प्रति संवेदनशील हो सकता है।

निष्कर्ष

वेबुल वितरण समय-विफलता डेटा के मॉडलिंग के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। हालांकि, इसे उपयोग करने से पहले वितरण की सीमाओं को समझना महत्वपूर्ण है।