टी वितरण

टी-वितरण, जिसे स्टूडेंट के टी-वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक जारी संख्यात्मक आपात संबंधी विभाजन है जो सांख्यिकीय संभावना के अनुसार प्रयुक्त किया जाता है जब नमूना का आकार छोटा होता है और जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात होता है। यह एक घंटाकार, समितिक वितरण है जो सामान्य वितरण के अनुपात में है, लेकिन भारी पूंछों के साथ।

स्वतंत्रता के डिग्री

टी-वितरण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री को नमूने में अवलंबित अवलोकनों की संख्या के एक कम यह होती है। यह इसलिए है क्योंकि नमूना मान और नमूना मानक विचलन को अनुमानित करने के लिए प्रयुक्त होते हैं, और इन अनुमानों को प्रत्येक डिग्री की आज़ादी खो देते हैं।

उदाहरण

संभावित परिवर्तन है कि हमें एक अज्ञात मान और मानक विचलन वाले जनसंख्या से 10 अवलोकनों का नमूना है। नमूना मान 50 है और नमूना मानक विचलन 10 है। हमें यह सत्यापित करना है कि जनसंख्या का मान 55 के बराबर है।

इसके लिए, हम एक टी-परीक्षा का उपयोग करते हैं। टी-परीक्षा के लिए स्वतंत्रता की डिग्री 9 होती है (10 अवलोकनों में से एक कम)। एक साइनिफिकेंस स्तर 0.05 के द्विपक्षीय परीक्षण के लिए संक्रेमांक मान 2.262 होता है।

टी-तिरछा (t-statistic) निम्नांकित रूप से हुआ है:

$$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

जहां:

• $\overline{x}$ नमूना मान है
• $\mu_0$ संकेतित जनसंख्या मान है
• $s$ नमूना मानक विचलन है
• $n$ नमूने का आकार है

इस मामले में, टी-तिरछा है:

$$t = \frac{50 - 55}{10/\sqrt{10}} = -1.732$$

टी-परीक्षा के लिए p-मान का हिसाब निम्नांकित रूप से होता है:

$$p-मान = 2P(t < -1.732) = 0.114$$

क्योंकि p-मान 0.05 के प्रमुख्यता स्तर से अधिक है, इसलिए हम यह अस्वीकार करते हैं कि जनसंख्या का मान 55 के बराबर है।

टी-वितरण एक उपयोगी उपकरण है सांख्यिकीय साँचों के लिए जब नमूने का आकार छोटा होता है और जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात होता है। यह एक घंटाकार, समितिक वितरण है जो सामान्य वितरण के अनुपात में है, लेकिन भारी पूंछों के साथ। टी-वितरण का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में होता है, जिसमें जनसंख्या का मान के बारे में परीक्षण, जनसंख्या का मान के लिए विश्वासांकीय सीमा सम्मेलन, दो संबंधित नमूनों के मानों की तुलना करने के लिए बांधक t-परीक्षण और दो अभिनिर्भर नमूनों के मानों की तुलना करने के लिए असंबन्धित t-परीक्षण में शामिल हैं।

टी वितरण का सूत्र

टी वितरण सूत्र

टी-वितरण एक घटात्मक संख्यात्मक विभाजन है जिसका उपयोग छोटे नमूने के सामान्य वितरित जनसंख्या के मान का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। यह एक घटाकार वितरण है जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:

$$t = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$$

जहां:

• $t$ टी-तिरछा है
• $\bar{X}$ नमूना मान है
• $\mu$ जनसंख्या मान है
• $s$ नमूना मानक विचलन है
• $n$ नमूने का आकार है

टी-वितरण कई गुणों के साथ होता है जो सांख्यिकीय संख्यात्मक का उपयोग करने के लिए उपयोगी बनाते हैं। इन गुणों में निम्न प्रमुख हैं:

• टी-वितरण शून्य के बारे में सममित है।

• टी-वितरण का शून्य का औसत होता है।

• टी-वितरण का मतांश $\frac{n}{n-2}$ होता है।

• टी-वितरण का कर्टोसिस $\frac{6}{n-4}$ होता है।

• टी-वितरण प्राय: मानक मानक वितरण के पास पहुंचता है जब सैंपल का आकार बढ़ता है।

टी-वितरण सारणी

टी-वितरण सारणी टी-वितरण के महत्वपूर्ण मान स्वत्वय परिपन्थित और महत्वपूर्ण स्तरों के लिए स्वत्वयों के महत्वपूर्ण मान प्रदान करती है। ये महत्वपूर्ण मान पी-मान सटीकता (t-परीक्षा के लिए t-सारणी) या सामान्य रूप से वित्तीय जनसँख्या की मान पर विश्वास-सीमा का निर्माण (सामान्य रूप से वित्तीय जनसँख्या की मान के लिए संरचितित-अंतराल) के लिए उपयोग किया जा सकते हैं।

निम्नलिखित तालिका में विभिन्न स्वत्वयों की महत्वपूर्ण मानों की प्रदान की गई है:

टी-वितरण सांख्यिकीय इन्फरेंस के लिए एक उपयुक्त उपकरण है। यह सामान्य रूप से एक वित्तीय जनसँख्या की मान के बारे में हाइपोथेसिस का परीक्षण करने, सामान्य रूप से वित्तीय जनसँख्या की मान के लिए विश्वास-सीमा का निर्माण करने और रेग्रेशन-संकेतक के महत्व का परीक्षण करने के लिए उपयोग किया जाता है।

टी वितरण सारणी का उपयोग कैसे करें

टी-वितरण सारणी का उपयोग करने के लिए, आपको निम्नलिखित जानकारी का पता होना चाहिए:

• टी-सांख्यिकी के लिए स्वत्वय की पीड़ा (df)। स्वत्वय की पीड़ा सैंपल का आकार-एक से बटोर एक होती है।
• परीक्षा के लिए महत्वपूर्णता स्तर (α)। महत्वपूर्णता स्तर निराकरणीय हाइपोथेसिस को ध्वस्त करने की संभावना होती है जब वह सच होती है।

जब आपके पास यह जानकारी होती है, तो आप टी-सांख्यिकी के लिए महत्वपूर्ण मान को खोजकर टी-साया के लिए महत्वपूर्ण मान खोज सकते हैं। महत्वपूर्ण मान वह मान होता है जो निर्धारित स्वत्वय और महत्वपूर्णता स्तर के लिए टी-सांख्यिकी का मान होता है।

उदाहरण

मान लीजिए आपके पास एक निर्धारित सांख्यिकीय जनसँख्या से 10 अवलोकन हैं। आपको यह मान्यता का परीक्षण करना है कि जनसँख्या का औसत 50 के बराबर है। सैंपल औसत 55 है और सैंपल मानक विचलन 10 है।

इस परीक्षा को करने के लिए, आपको सबसे पहले टी-सांख्यिकी को गणित करना होगा:

$$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

जहाँ:

• $\overline{x}$ सैंपल औसत है
• $\mu_0$ मान्यता का जनसँख्या औसत है
• $s$ सैंपल मानक विचलन है
• $n$ सैंपल का आकार है

इस मामले में, टी-सांख्यिकी है:

$$t = \frac{55 - 50}{10/\sqrt{10}} = 1.732$$

अगले, आप टी-साया के लिए महत्वपूर्ण मान टी-वितरण सारणी में खोजेंगे। इस परीक्षा के लिए स्वत्वय की पीड़ा 9 है (क्योंकि सैंपल का आकार 10 है), और महत्वपूर्णता स्तर 0.05 है। महत्वपूर्ण मान 2.262 है।

चूंकि टी-सांख्यिकी का अवशेषी मान (1.732) महत्वपूर्ण मान (2.262) से छोटा है, हम मान्यता को निराकरण नहीं करते हैं। इसका मतलब है कि 50 से अलग होने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं है।

टी-वितरण सामान्यतया अप्रसामान्य संख्यानुद्धारणी परीक्षण और आपूर्ति के औसत के बारे में परीक्षण करने के लिए एक महत्वपूर्ण साधन है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो। टी-वितरण सारणी का उपयोग करके, आप टी-सांकेतिकी के लिए महत्वपूर्ण मान निर्धारित कर सकते हैं और निराकरण-मूल्यवाद स्वीकार करें या नहीं करें के बारे में एक निर्णय ले सकते हैं।

टी वितरण प्राचीनता

शून्य के बाद एक न्यायशास्त्रज्ञ के प्रसंग में टी-वितरण एक नैमित्तिक संख्याप्रचालन का अनुमानय प्राचालित करने के लिए इस्तेमाल होने वाला एक नियमित प्रस्तुति वितरण है, जब नमूने का आकार छोटा होता है। यह छात्र को संख्याप्रचालन विचलन के बारे में एक अच्छा अनुमान करने में मदद करता है।

टी-वितरण का एक पैरामीटर होता है, जो कि स्वतंत्रता के डिग्री के बराबर होता है। स्वतंत्रता के डिग्री नमूने का आकार मानक से एक कम होता है।

स्वतंत्रता के डिग्री

आपूर्ति में जानकारी की मात्रा का मापन स्वतंत्रता के डिग्री करता है। ज्यादा स्वतंत्रता के डिग्री, नमूने में ज्यादा जानकारी होती है, और जनसंख्या के औसत का अनुमान अधिक पूर्णता होगा।

स्वतंत्रता के डिग्री टी-वितरण के आकार को प्रभावित करते हैं। स्वतंत्रता के कम डिग्री वाला टी-वितरण टी-वितरण के अधिक बिखराव वाला होता है जबकि स्वतंत्रता के अधिक डिग्री वाला टी-वितरण वितरान के नरमा है। इसका मतलब है कि स्वतंत्रता के कम डिग्री वाले टी-वितरण अत्यधिक मान उत्पन्न करने की संभावना अधिक होती है।

टी-वितरण के अनुप्रयोग

टी-वितरण को ह्य्पोथेसिस परीक्षण, आश्वासनांक चारा, पेयर्ड टी-परीक्षण, एकांत एएनओविए में उपयोग किया जाता है।

टी-वितरण एक सांख्यिकी आंकलन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। यह कई अनुप्रयोगों में उपयोग में आता है, और इसे सही ढंग से उपयोग करने के लिए टी-वितरण के पैरामीटरों को समझना महत्वपूर्ण होता है।

टी वितरण और सामान्य वितरण के बीच अंतर

टी-वितरण और सामान्य वितरण दोनों सांख्यिकी विश्लेषण में उपयोग होने वाले नियमित प्रस्तुति वितरण हैं। हालांकि, दोनों वितरणों के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैं।

1. आकार

सामान्य वितरण एक सममित्र, घण्टाकारा कर्व है। टी-वितरण भी एक घण्टाकारा कर्व है, लेकिन यह सममित्र नहीं है। टी-वितरण में सामान्य वितरण की तुलना में भारी पूंछ होती है, जिसका मतलब है कि यह अत्यधिक मान उत्पन्न करने की संभावना अधिक होती है।

2. स्वतंत्रता के डिग्री

टी-वितरण का एक पैरामीटर होता है, जिसे स्वतंत्रता के डिग्री कहा जाता है। स्वतंत्रता के डिग्री वितरण की आकार निरूपित करती है। ज्यादा स्वतंत्रता के डिग्री, वितरण जैसा तय हो जाता है, जो अधिक संख्यानुद्धारणी के प्रत्यक्षता में पहले से ज्वलंत वितरण की ओर बढ़ रहा होता है।

3. अनुप्रयोग

सामान्य वितरण कई सांख्यिकी अनुप्रयोगों में उपयोग होता है, जिसमें शामिल हैं:

• हाइपोथेसिस परीक्षण
• आश्वासनांक चारा
• रीज्रेशन विश्लेषण

टी-वितरण का अधिक सीमित संख्या में अनुप्रयोग होता है, जो कि:

• मान के बारे में हावाभावनी परीक्षण जब सैंपल का आकार छोटा हो
• मान के लिए विश्वसनीय सीमाओं के बारे में जब सैंपल का आकार छोटा हो
• सहपिठ टि-परीक्षाएं

4. कौन सा वितरण उपयोग करें?

विशिष्ट सांख्यिकीय विश्लेषण पर लगाये जा रहे हैं यह चुनाव किस वितरण का उपयोग करेगा। यदि सैंपल का आकार बड़ा हो तो साधारित वितरण का उपयोग किया जा सकता है। यदि सैंपल का आकार छोटा हो तो टी-वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए।

5. संक्षेप

टी-वितरण और साधारित वितरण, जो कि आंकड़ाशास्त्रीय विश्लेषण में प्रयोग होने वाले दो प्रमुख नियमित प्रायोजक विवाह हैं। दोनों विवाहों के बीच मुख्य अंतर हैं:

• टी-वितरण असममित होता है, जबकि साधारित वितरण आंतरिक है।
• टी-वितरण में पद, ग्याटियां सीमित करने वाली प्राचुर्यता है, जो वितरण की आकृति निर्धारित करती है।
• टी-वितरण साधारित वितरण से कम अनुप्रयोगों में प्रयोग होता है।

विशिष्ट सांख्यिकीय विश्लेषण पर लगाये जा रहे हैं इस पर किस वितरण का उपयोग करेगा।

टी-वितरण की गुण

टी-वितरण एक नियमित प्रायोजक विवाह है जो साधारित वितरण के अनुपम विपत्तियों के साथ समान होता है। इसका अर्थ है कि टी-वितरण साधारित वितरण की तुलना में अधिकतम मानों का उत्पादन करने की संभावना अधिक होती है।

टी-वितरण एक पैरामीटर द्वारा परिभाषित होती है, जिसे स्वतंत्रता के स्तर कहा जाता है। स्वतंत्रता के स्तर ने वितरण की आकृति तय करती है। जितना अधिक स्वतंत्रता का स्तर, वह उत्पादित होता है टी-वितरण की तुलना में साधारित वितरण से अधिक हो जाता है।

टी-वितरण के कई गुण हैं जो इसे सांख्यिकीय अभिषंगत के लिए उपयोगी बनाते हैं। ये गुण शामिल हैं:

• सममिति: टी-वितरण अपने माध्य के बारे में सममित है।
• एकाग्रता: टी-वितरण एकाग्रता है, इसका अर्थ है कि इसमें एक ही मोड होता है।
• मोटे पूंछभार: टी-वितरण के मोटे पूंछभार साधारित वितरण से अधिक होता है। यह इसका मतलब है कि टी-वितरण साधारित वितरण की तुलना में अधिकतम मानों का उत्पादन करने की संभावना अधिक होती है।
• वक्रता: टी-वितरण आपेक्षित स्वतंत्रता के लिए दायीं ओर मोड है। जब स्वतंत्रता बढ़ती है, तो वक्रता घटती है।
• धूलबार: टी-वितरण साधारित वितरण से अधिक धूलबार होती है। इसका अर्थ है कि टी-वितरण की ऊँचाई और पतले पूंछ की होती है।

टी-वितरण के अनुप्रयोग

टी-वितरण को विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जैसे:

• हावाभावनी परीक्षण: जब सैंपल का आकार छोटा हो और आपरिज्ञात प्रायोगिकीय मानक विचलन बहुत कम हो तो टी-वितरण का उपयोग करके आंकड़ाशास्त्रीय परीक्षण करने के लिए प्रयोग होता है।

• विश्वसनीय सीमाएं: जब सैंपल का आकार छोटा हो और आपरिज्ञात प्रायोगिकीय मानक विचलन बहुत कम हो तो टी-वितरण का उपयोग करके आंकड़ाशास्त्रीय मान के लिए विश्वसनीय सीमाएं निर्माण करने के लिए प्रयोग होता है।

• प्रतिस्थापना विश्लेषण: टी-वितरण का उपयोग प्रतिस्थापना रेखा के ढलान और आंतरवादी के परीक्षण करने के लिए किया जाता है।

• विविधता विश्लेषण: t-वितरण का उपयोग दो या अधिक समूहों के बीच माध्यों के समानता के बारे में हाइथोन

सामग्री: संपूर्ण रूप से, टी-वितरण एक मूल्यवान उपकरण है आंकड़ीय ऊपचारिकी के लिए जब नमूना आकार छोटा होता है और जनसंख्या मानक प्रमाणात्मक मान अज्ञात होता है। यह साधारण वितरण से मजबूत और शक्तिशाली है, लेकिन यह भी ज्यादा जटिल और कम सटीक है।

t वितरण पूछे जाने वाले प्रश्न

टी-वितरण क्या है?

टी-वितरण एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग नमूना आकार छोटा होता है और जनसंख्या मानक प्रमाणात्मक मान अज्ञात होता है तो एक सामान्य वितरित जनसंख्या के मान का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। यह भी एक सामान्य वितरित जनसंख्या के मान के बारे में केवलाधिपत्यों की जाँच करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है।

टी-वितरण के मुख्य लक्षण क्या हैं?

टी-वितरण एक सममिती, घंटी आकार वितरण है जो शून्य पर केंद्रित है। टी-वितरण का फैलाव डिग्रीज ऑफ़ फ्रीडम द्वारा निर्धारित होता है, जो नमूना आकार का मापन है। टी-वितरण की थिक छोटी ओरें होती हैं जिसका मतलब है कि यह अधिक संभव है कि यह अत्यधिक मानों को उत्पन्न करेगा।

टी-वितरण का इस्तेमाल क्या होता है?

टी-वितरण का उपयोग विभिन्न आंकड़ाशास्त्रिक अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• जनसंख्या मानक प्रमाणात्मक मान अज्ञात होने पर सामान्य वितरित जनसंख्या का अर्थ लगाने के लिए।
• एक सामान्य वितरित जनसंख्या के मान के बारे में केवलाधिपत्यों की जाँच करने के लिए।
• एक सामान्य वितरित जनसंख्या के मान के लिए विश्वसनीयता अंतराल निर्माण करने के लिए।
• दो संबंधित नमूनों के मानों की तुलना करने के लिए जोड़ा हुआ t-परीक्षण करने के लिए।
• दो अखंड नमूनों के मानों की तुलना करने के लिए स्वतंत्र t-परीक्षण करने के लिए।

टी-वितरण की सीमाएं क्या हैं?

टी-वितरण वैज्ञानिक विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाल उपकरण है, लेकिन इसमें कुछ सीमाएं हैं। ये सीमाएं शामिल हैं:

• टी-वितरण केवल सामान्य वितरित जनसंख्याओं के लिए मान्य है।
• टी-वितरण आउटलायर्स के प्रति संवेदनशील है।
• टी-वितरण सामान्य वितरण के तुलना में जब नमूना आकार बड़ा होता है, तब उत्कृष्ट नहीं होता है।

निष्कर्ष

टी-वितरण आंकड़ाशास्त्रिक विश्लेषण के लिए एक सक्षम और शक्तिशाल उपकरण है। इसे सक्रियता से उपयोग करने के लिए टी-वितरण की मुख्य लक्षण और सीमाओं को समझना महत्वपूर्ण है।