कैसे हारमोनिक प्रगति के योग को ढूंढें

हारमोनिक प्रगति एक ऐसी संख्या की अनुक्रमिक श्रृंखला होती है जहां प्रत्येक शब्द प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिपालन करता है। हारमोनिक प्रगति के पहले कुछ शब्द हैं:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$$

हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

इस सूत्र को निम्नलिखित चरणों का प्रयोग करके निकाला जा सकता है:

1. पहले n शब्दों के योग के लिए एक अंकगणितीय प्रगति के पहले n शब्दों के योग के लिए सूत्र से शुरु करें:

$$A_n = \sum_{i=1}^n (a + (i-1)d) = n(2a + (n-1)d)$$

जहां a पहला शब्द है, d सामान्य अंतर है, और n शब्दों की संख्या है।

2. योग के लिए अंकगणितीय प्रगति के लिए सूत्र में a = 1 और d = -1/n के रूप में प्रतिस्थापन करें:

$$H_n = \sum_{i=1}^n \left(1 + \left(i-1\right)\left(-\frac{1}{n}\right)\right) = n\left(2 - \frac{n-1}{n}\right)$$

3. सूत्र को सरल रूप में लाएँ:

$$H_n = n\left(\frac{n+1}{n}\right) = n+1$$

इसलिए, हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

उदाहरण

हारमोनिक प्रगति के पहले 10 शब्दों का योग ढूंढें:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$$

हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों के योग के लिए सूत्र का प्रयोग करते हुए, हमें मिलता है:

$$H_{10} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10} \approx 2.92897$$

इसलिए, हारमोनिक प्रगति के पहले 10 शब्दों का योग लगभग 2.92897 है।

हारमोनिक प्रगति के योग का सूत्र

हारमोनिक प्रगति एक ऐसी संख्या की अनुक्रमिक श्रृंखला है जहां प्रत्येक शब्द प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिपालन करता है। हारमोनिक प्रगति के पहले कुछ शब्द हैं:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$$

हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \ln(n) + \gamma$$

यहां γ यूलर-मास्खéरोनी स्थिर है, जो लगभग 0.5772156649 के बराबर होता है।

हारमोनिक प्रगति के योग के गुण

हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग कई दिलचस्प गुण हैं। उदाहरण के लिए:

• हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग हमेशा n के प्राकृतिक लघुगणक से अधिक होता है।
• हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग हमेशा n के प्राकृतिक लघुगणक से कम होता है, प्लस 1 के प्राकृतिक लघुगणके।
• हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग n के अनुप्रवेश के साथ असीमित होता है।

हारमोनिक प्रगति के योग के उपयोग

हारमोनिक प्रगति के पहले n शब्दों का योग गणित और भौतिकी में कई अनुप्रयोगों का होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जाता है:

• एक कर्व के नीचे क्षेत्र की गणना करने के लिए।
• एक घन के आयाम की गणना करने के लिए।
• एक वस्तु का केंद्रीय भार निर्धारित करने के लिए।

एक हारमोनिक प्रगति के पहले न टर्म का योग एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग गणित और भौतिकी में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। इस सूत्र की गुणधर्मों को समझकर, आप उसे अपने फायदे के लिए उपयोग कर सकते हैं और जो समस्याएं अन्यथा कठिन या असंभव होती हैं, उन्हें हल कर सकते हैं।

अनंत हारमोनिक प्रगति का योग

एक हारमोनिक प्रगति एक संख्या क्रम है जिसमें प्रत्येक टर्म प्राकृतिक संख्याओं के अद्वितीय है। कुछ पहले टर्म्स एक हारमोनिक प्रगति के हैं:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$$

एक हारमोनिक प्रगति के पहले n टर्म का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

अनंत हारमोनिक प्रगति का योग

एक अनंत हारमोनिक प्रगति का योग पहले n टर्मों के योग का सीमा के रूप में परिभाषित होता है, जब n असीम को पहुंचता है। अर्थात्,

$$H = \lim_{n\to\infty} H_n = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \right)$$

इस सीमा मौजूद नहीं होती है, जिसका मतलब है कि अनंत हारमोनिक प्रगति का योग असंख्य होता है।

प्रमाण

एक अनंत हारमोनिक प्रगति का योग असंख्य होता है, इसका अर्थ है कि श्रंखला $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ को एक सीमित मान पर समययोग्य नहीं करती है।

हारमोनिक प्रगति के योग पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1:

पहले 10 टर्म्स के हारमोनिक प्रगति का योग ढूंढें:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$$

समाधान:

हारमोनिक प्रगति के पहले n टर्मों के योग के लिए सूत्र दिया गया है:

$$H_n = \frac{n}{2(n+1)}$$

सूत्र में n = 10 को स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

$$H_{10} = \frac{10}{2(10+1)} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$$

इसलिए, दिए गए हारमोनिक प्रगति के पहले 10 टर्मों का योग 5/11 है।

उदाहरण 2:

पहले 20 टर्म्स के हारमोनिक प्रगति का योग ढूंढें:

कंटेंट का हैट्रांसलेशन हिंदी रूप: $$1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \frac{1}{13}, \frac{1}{15}, \frac{1}{17}, \frac{1}{19}, \frac{1}{21}, \frac{1}{23}, \frac{1}{25}, \frac{1}{27}, \frac{1}{29}, \frac{1}{31}, \frac{1}{33}, \frac{1}{35}, \frac{1}{37}, \frac{1}{39}$$

समाधान:

एक हार्मोनिक प्रगति के पहले n अंशों के योग को निकालने का सूत्र उपयोग करके, हमें:

$$H_{20} = \frac{20}{2(20+1)} = \frac{20}{41} = \frac{10}{20.5}$$

इसलिए, दिए गए हार्मोनिक प्रगति के पहले 20 अंशों का योग 10/20.5 है।

उदाहरण 3:

हार्मोनिक प्रगति के पहले 50 अंशों का योग ढूंढें:

$$1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \frac{1}{36}, \frac{1}{49}, \frac{1}{64}, \frac{1}{81}, \frac{1}{100}, \frac{1}{121}, \frac{1}{144}, \frac{1}{169}, \frac{1}{196}, \frac{1}{225}, \frac{1}{256}, \frac{1}{289}, \frac{1}{324}, \frac{1}{361}, \frac{1}{400}, \dots$$

समाधान:

एक हार्मोनिक प्रगति के पहले n अंशों के योग को निकालने का सूत्र उपयोग करके, हमें:

$$H_{50} = \frac{50}{2(50+1)} = \frac{50}{101} \approx 0.495$$

इसलिए, दिए गए हार्मोनिक प्रगति के पहले 50 अंशों का योग लगभग 0.495 है।

हार्मोनिक प्रगति के योग के बारे में पूछे जाने वाले सवाल

हार्मोनिक प्रगति का योग क्या होता है?

हार्मोनिक प्रगति का योग एक धारा के तत्वों के प्रतिस्पर्धात्मक्ता का योग होता है।

हार्मोनिक प्रगति के योग के लिए सूत्र क्या है?

हार्मोनिक प्रगति के पहले n अंशों के योग के लिए सूत्र है:

$$H_n = \frac{n}{2} \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_n} \right)$$

यहां:

• $H_n$ है हार्मोनिक प्रगति के पहले n तत्वों का योग
• $a_1$ है हार्मोनिक प्रगति का पहला तत्व
• $a_n$ है हार्मोनिक प्रगति का n तत्व

हार्मोनिक प्रगति के कुछ उदाहरण क्या हैं?

हार्मोनिक प्रगति के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• श्रृंगार श्रंगार प्रगति: 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
• मुक्तिगाथा प्रगति: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …
• 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …

हार्मोनिक प्रगति के कुछ उपयोग क्या हैं?

हार्मोनिक प्रगतियों का कई उपयोग होते हैं, जैसे:

• संगीत में, हार्मोनिक प्रगतियाँ स्वरों और धुनों के सृजन के लिए प्रयोग होती हैं।
• भौतिकी में, हार्मोनिक प्रगतियाँ वस्तुओं के गति का अध्ययन करने के लिए प्रयोग होती हैं।
• गणित में, हार्मोनिक प्रगतियाँ संख्याओं के गुणांकों की गुणकरता की गुणधर्मों का अध्ययन करने के लिए प्रयोग होती हैं।

हार्मोनिक प्रगतियों के बारे में कुछ आम भ्रांतियाँ क्या हैं?

हार्मोनिक प्रगतियों के बारे में कुछ आम भ्रांतियाँ निम्नलिखित होती हैं:

• हार्मोनिक प्रगतियाँ हमेशा बढ़ती होती हैं।
• हार्मोनिक प्रगतियाँ हमेशा घटती होती हैं।
• हार्मोनिक प्रगतियाँ हमेशा मिलती होती हैं।

वास्तव में, हार्मोनिक प्रगतियाँ बढ़ती हो सकती हैं, घटती हो सकती हैं, या इधर-उधर चल सकती हैं, और वे मिल सकती हैं या अमिल सकती हैं।