क्या है सर्कल का अर्थ?

एक सर्कल एक चौखटीय पंक्ति होती है जिसे आवधिकीय बिंदु (केंद्र) से तार से पंक्ति के किसी भी बिंदु तक की दूरी द्वारा परिभाषित किया जाता है। चक्र के केंद्र से सर्कल पर किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहते हैं।

सर्कल की विशेषताएं

• एक सर्कल एक बंद वक्र होती है।
• एक सर्कल एक सरल वक्र होती है।
• एक सर्कल एक स्मूद वक्र होती है।
• एक सर्कल एक समांतर वक्र होती है।
• सर्कल का परिक्रमा $2\pi r$ के बराबर होता है, जहां $r$ सर्कल की त्रिज्या है।
• सर्कल का क्षेत्रफल $\pi r^2$ के बराबर होता है, जहां $r$ सर्कल की त्रिज्या है।

सर्कल के अनुप्रयोग

सर्कल का व्यापक प्रयोग कई विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• इंजीनियरिंग: सर्कल का उपयोग गियर, बेयरिंग्स, और अन्य मैकेनिकल घटकों के डिजाइन में किया जाता है।
• आर्किटेक्चर: सर्कल का उपयोग गुंबदों, मेहराबों, और अन्य संरचनात्मक घटकों के डिजाइन में किया जाता है।
• कला: सर्कल का उपयोग पेंटिंग, स्कल्प्चर, और अन्य कला के कामों में किया जाता है।
• विज्ञान: सर्कल का उपयोग खगोलशास्त्र, भौतिकी, और अन्य वैज्ञानिक शाखाओं के अध्ययन में किया जाता है।

निष्कर्ष

सर्कल एक मूल्यांकन ज्यामिति आकार है जिसका व्यापक प्रयोग होता है। इसका सरल और आकर्षक आकार गणितज्ञों, कलाकारों, और इंजीनियरों के लिए सदियों से प्रेरित करता है।

अर्थांतरित के बारे में क्या है?

अर्थांतरित

अर्थांतरित वृत्तों को उन्हें एक दूसरे के सही कोणों पर पटरीकाओं द्वारा पार करने वाला न तो। हह पटरीका का संकेंद्र बिन्दु कहा जाता है। इसका संकेंद्र दोनों वृत्तों पर किसी भी बिंदु से समान दूरी का होता है।

अर्थांतरित के गुण

• दो अर्थांतरित वृत्तों के संकेंद्र का संधारित मध्यबिंदु होता है।
• दो अर्थांतरित वृत्तों के असंतुलन के बीच का दूरी में उनके संकेंद्रों के रेखांतर की गाढ़ी का योग उसके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।
• दो अर्थांतरित वृत्तों के बिंदु पर संपत्तियों के ग्रहण के लिए 90 डिग्री का कोण होता है।

अर्थांतरित के अनुप्रयोग

अर्थांतरित को विविध अनुप्रयोगों में इस्तेमाल किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गियर डिज़ाइन: अर्थांतरित वृत्तों का उपयोग हमेशा मिलते गियर्स के डिज़ाइन में किया जाता है।
• बेयरिंग डिज़ाइन: अर्थांतरित वृत्तों का उपयोग घर्षण को कम करने वाले बेयरिंग्स के डिज़ाइन में किया जाता है।
• कैम डिज़ाइन: अर्थांतरित वृत्तों का उपयोग दूसरे भागों के गति को नियंत्रित करने वाले कैम के डिज़ाइन में किया जाता है।
• ऑप्टिक्स: अर्थांतरित वृत्तों का उपयोग प्रकाश को केंद्रित करने वाले लेंस और मिरर के डिज़ाइन में किया जाता है।

अर्थांतरित वृत्तों को विविध अनुप्रयोगों में इस्तेमाल करना संवेदनशील एक औजार है। इनकी अद्वितीय गुणों से गियर, बेयरिंग, कैम, और ऑप्टिकल कम्पोनेंट्स के डिज़ाइन में उपयोगी होते हैं।

एक अर्थांतरित वृत्त जोड़े कैसे बनाएं

सामग्री:

• एक जोड़ी कम्पैस
• एक रूल
• एक पेंसिल
• एक पेपर का टुकड़ा

कदम:

1. एक सर्कल बनाएं। पेपर पर किसी भी आकार का एक सर्कल बनाने के लिए कम्पैस का उपयोग करें।

२. एक व्यास खींचें। व्यास खींचने के लिए सुधार का उपयोग करें। यह एक सीधी रेखा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुज़रती है और वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

३. एक लंबक व्यास खींचें। व्यास खींचने के लिए सुधार का उपयोग करें। यह एक सीधी रेखा है जो पहले व्यास को एक सही कोण पर काटती है।

४. दूसरा वृत्त खींचें। दूसरे वृत्त को माप के अनुसार दूसरे वृत्त के आकार के साथ खींचने के लिए कंपास का उपयोग करें, जो दो व्यासों के संयोग पर केंद्रित है।

५. निर्माण रेखाओं को मिटाएं। उपयोग किए गए स्थानों २ और ३ में खींची हुई व्यास और लंबक व्यास को मिटा दें।

सुझाव:

• सुनिश्चित करने के लिए कि वृत्त सही ढंग से अनुपातित हैं, दो व्यासों के बीच कोण का मापन करने के लिए एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करें। यह ९० डिग्री होना चाहिए।
• आप एक टी-वर्ग या एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके लंबक व्यास खींचने के लिए भी उपयोग कर सकते हैं।
• यदि आप एक जोड़ी वृत्त खींचना चाहते हैं जो एक ही आकार वाले नहीं हैं, तो बस अलग-अलग आकार के कंपास का उपयोग करें।

अधिमानता के सिद्धांत

अधिमानता के सिद्धांत का कहना है कि यदि दो बहुविमान अधिमान्य हैं, तो उनका डॉट प्रोडक्ट शून्य होता है। अन्य शब्दों में, यदि $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ अधिमान्य हैं, तो $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ होता है।

प्रमाण

अधिमानता के सिद्धांत का प्रमाण सरल है। $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ को एक आंतरिक उत्पादन अंतरिक्ष में दो बहुविमानों के रूप में लें। फिर, $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ का डॉट प्रोडक्ट इस रूप में परिभाषित होता है

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i$$

जहां $ a_i $ और $ b_i $ आपसी अनुपात में $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ के घटक हैं।

यदि $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ अधिमान्य हैं, तो वे एक-दूसरे के लगभग लंब होते हैं। इसका मतलब है कि $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ के बीच का कोण $ 90^\circ $ है।

दो बहुविमानों के बीच का कोण कोसाइन के रूप में परिभाषित होता है

$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{| \mathbf{a} || \mathbf{b} |}$$

जहां $ | \mathbf{a} | $ और $ | \mathbf{b} | $ प्राकृतिक $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ के मात्राएं हैं।

क्योंकि $ \mathbf{a} $ और $ \mathbf{b} $ अधिमान्य हैं, इसलिए उनके बीच का कोण $ 90^\circ $ होता है। इसलिए, $ \cos\theta = 0 $ होता है।

$ \cos\theta = 0 $ को समीकरण में प्रतिस्थापित करके, हमें मिलता है

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | \cos\theta = 0$$

इसलिए, दो अधिमान्य बहुविमानों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होता है।

अनुप्रयोग

अधिमान्त्य थ्योरेम का गणित और भौतिकी में कई अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जाता है:

• दो बहुविमानों के बीच का कोण ढूंढें
• यह निर्धारित करें कि दो बहुविमान समांतर या लंब हैं या नहीं
• एक बहुविमान को दूसरे बहुविमान पर प्रक्षेपित करें
• किसी उपअंतरधारण का अधिमान्य पूरक खोजें

अधिमानताथ्योरेम रैनियर बहुपदीय गणित का मौलिक सिद्धांत है। इसका इस्तेमाल गणित और भौतिकी में कई उपयोग होता है।

अधिमान्य वृत्त नियुक्तियाँ हल की उदाहरण

उदाहरण १: अधिमान्य वृत्तों के त्रिज्याओं की खोज

विषय: दोनों वृत्त एक-दूसरे के लिए अमूर्तिकारी हैं। एक वृत्त के त्रिज्या का आयाम 3 सेमी है। दूसरे वृत्त का आयाम ढूंढें।

समाधान:

अन्य वृत्त के आयाम को $r$ के रूप में चिह्नित करें। चूंकि वृत्त एक-दूसरे के अमूर्त हैं, इसलिए उनकी त्रिज्याओं का लंबकार एक-दूसरे से लगा होता है। इसलिए, हम $r$ को खोजने के लिए प्याथागोरस का सिद्धान्त उपयोग कर सकते हैं।

$$(3 \text{ सेमी})^2 + r^2 = (5 \text{ सेमी})^2$$

$$9 \text{ सेमी}^2 + r^2 = 25 \text{ सेमी}^2$$

$$r^2 = 16 \text{ सेमी}^2$$

$$r = 4 \text{ सेमी}$$

इसलिए, दूसरे वृत्त का आयाम 4 सेमी है।

उदाहरण 2: अमूर्तिकारी वृत्तों के केंद्रों का पता लगाना

मुद्दा: दोनों वृत्त एक-दूसरे के लिए अमूर्तिकारी हैं। एक वृत्त का केंद्र बिना $(2, 3)$ बिंदु पर है। दूसरे वृत्त का आयाम 5 सेमी है। दूसरे वृत्त के केंद्र का पता लगाएं।

समाधान:

दूसरे वृत्त का केंद्र $(x, y)$ हो। यहां तक कि वृत्त एक-दूसरे के अमूर्त हैं, उनकी त्रिज्याएं एक-दूसरे के अनुप्राण होते हैं। इसलिए, $(2, 3)$ और $(x, y)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा एक-दूसरे के लिए लंबकार होती है।

$(2, 3)$ और $(x, y)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की ढल को खोजने के लिए मुख्यमंत्री है:

$$m = \frac{y - 3}{x - 2}$$

दोनों वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा इसके लिए लंबकार होती है, इसलिए इसकी ढल है:

$$m’ = -\frac{1}{m} = -\frac{x - 2}{y - 3}$$

हम भी जानते हैं कि दोनों वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी, जो कि उनके त्रिज्याओं के योग के बराबर है, यानी 3 सेमी + 5 सेमी = 8 सेमी है। इसलिए, हम $(x, y)$ के निर्देशांक ढूंढने के लिए दूरी के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

$$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 8 \text{ सेमी}$$

$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 64 \text{ सेमी}^2$$

इस समीकरण में $m’$ के लिए अभिव्यक्ति को विलेखन करने के बाद,

$$(x - 2)^2 + \left(-\frac{x - 2}{y - 3}\right)^2 = 64 \text{ सेमी}^2$$

इस समीकरण को सरल रूप में ला सकते हैं:

$$(x - 2)^2 + \frac{(x - 2)^2}{(y - 3)^2} = 64 \text{ सेमी}^2$$

$$(x - 2)^2\left[1 + \frac{1}{(y - 3)^2}\right] = 64 \text{ सेमी}^2$$

$$(x - 2)^2\left[\frac{(y - 3)^2 + 1}{(y - 3)^2}\right] = 64 \text{ सेमी}^2$$

$$(x - 2)^2\left[\frac{y^2 - 6y + 10}{(y - 3)^2}\right] = 64 \text{ सेमी}^2$$

$$(x - 2)^2 = \frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}$$

$$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

वृत्त के केंद्र को एक वास्तविक संख्या होना चाहिए, इसलिए हमें सकारात्मक मानवर्धक वर्गमूल का चयन करना चाहिए। इसलिए,

$$x = 2 + \sqrt{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

अब हम $x$ के लिए इस अभिव्यक्ति को $m’$ के लिए व्यक्त करने के लिए बदल सकते हैं और $y$ की खोज कर सकते हैं।

$$m’ = -\frac{x - 2}{y - 3} = -\frac{2 + \sqrt{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}} - 2}{y - 3}$$

$$m’ = -\frac{\sqrt{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}}{y - 3}$$

$$y - 3 = -\frac{y - 3}{\sqrt{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}}$$

$$(y - 3)^2 = -\frac{(y - 3)^2}{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

$$(y - 3)^2\left[1 + \frac{1}{\frac{64 \text{ सेमी}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}\right] = 0$$

$$चौम्बक वृत्तों की अपेक्षाकृत विभिन्न बाह्यकक्षेत्रों के केंद्रों का आस पास एक बिंदु होता है। यह आपस में दायाँ कोणों पर मिलते हैं।

चौम्बक वृत्त क्या होते हैं?

चौम्बक वृत्त दो ऐसे वृत्त होते हैं जो सीधे कोण पर स्पर्श करते हैं। इस परिक्षेप बिन्दु को ‘चौम्बक केंद्र’ कहा जाता है।

चौम्बक वृत्तों की गुणधर्म क्या होती हैं?

चौम्बक वृत्तों के कुछ गुणधर्मों के उदाहरण हमारे यहां दिए गए हैं:

• दो चौम्बक वृत्तों के चौम्बक केंद्र एकत्रीकरण रेखा के बीच बीचविंशति संख्याक होता है।
• दो चौम्बक वृत्तों के त्रिज्याकोण योग उनके केंद्रों के बीच दूरी के वर्ग के बराबर होता है।
• दो चौम्बक वृत्तों के स्पर्श केंद्र पर उनके टंगेंट्स के कोण को 90 डिग्री कहते हैं।

दो चौम्बक वृत्तों के चौम्बक केंद्र को कैसे ढूंढा जा सकता है?

दो चौम्बक वृत्तों के चौम्बक केंद्र की खोज करने के लिए कुछ विभिन्न तरीके हैं। एक तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना है:

$$चौम्बक केंद्र = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)$$

यहां (x1, y1) और (x2, y2) दोनों वृत्तों के केंद्रों के संयोजनांक हैं।

दो चौम्बक वृत्तों के चौम्बक केंद्र की खोज करने का दूसरा तरीका है, उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबकरणों का निर्माण करना। लंबकरणों का उदबोधन बिंदु ही चौम्बक केंद्र होता है।

चौम्बक वृत्तों के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

चौम्बक वृत्तों के कई अनुप्रयोग हैं जैसे:

• एक त्रिभुज के चारों प्रभेदों के ज्ञात करने के लिए
• एक त्रिभुज के अंतःकेंद्र का पता लगाने के लिए
• एक त्रिभुज के बाह्यकेंद्रों का पता लगाने के लिए
• नियमित बहुभुज निर्माण करने के लिए
• वृत्तों से संबंधित ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए

निष्कर्ष

चौम्बक वृत्त सम्प्रेषण में एक उपयोगी उपकरण है। इनके पास कई गुणधर्म हैं जिनका उपयोग विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।