क्या होता है बिनोमियल वितरण का अर्थ और अलगाव?

बिनोमियल वितरण एक असंख्यात संख्या की गणनाओं का एक संकल्पगत संभावना वितरण है, जिसमें प्रत्येक विजय क्रिया के साथ सदैव सफलता की संभावना p होती है।

बिनोमियल वितरण का अर्थ और अलगाव कैसे निकालें

बिनोमियल वितरण एक असंख्यात संख्या की गणनाओं का एक संकल्पगत संभावना वितरण है, जिसमें n निर्भर हाँ/ना के प्रयोगों के एक अनुक्रम में सफलताओं की संख्या होती है, प्रत्येक क्रिया में सफलता की संभावना p होती है।

बिनोमियल वितरण का औसत

बिनोमियल वितरण का औसत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = np$$

जहाँ:

• $E(X)$ बिनोमियल वितरण का औसत है
• n परीक्षण की संख्या है
• p प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना है

बिनोमियल वितरण का अस्थायी

बिनोमियल वितरण का अस्थायी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$V(X) = np(1-p)$$

जहाँ:

• $V(X)$ बिनोमियल वितरण का अस्थायी है
• n परीक्षण की संख्या है
• p प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना है

उदाहरण

सोचिए हमारे पास $n = 10$ और $p = 0.5$ के साथ एक बिनोमियल वितरण है। तो वितरण का औसत होगा:

$$E(X) = 10 * 0.5 = 5$$

और वितरण का अस्थायी होगा:

$$V(X) = 10 * 0.5 * (1-0.5) = 2.5$$

बिनोमियल वितरण के अनुप्रयोग

बिनोमियल वितरण को गुणवत्ता नियंत्रण, स्थायित्व अभियांत्रिकी, चिकित्सा अनुसंधान, सामाजिक विज्ञान अनुसंधान इत्यादि में उपयोग किया जाता है।

बिनोमियल वितरण स्वतंत्र हाँ/ना परीक्षणों के एक अनुक्रम में सफलताओं की संख्या के मॉडलिंग के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। बिनोमियल वितरण का औसत और अस्थायी एक बिनोमियल वितरण की प्रत्याशित मान और बढ़त को समझने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

बिनोमियल वितरण के औसत और अस्थायी की गणना का विचलन

बिनोमियल वितरण एक असंख्यात संख्या की गणनाओं का एक संकल्पगत संभावना वितरण है, जिसमें n निर्भर हाँ/ना के प्रयोगों के एक अनुक्रम में सफलताओं की संख्या होती है, प्रत्येक क्रिया में सफलता की संभावना p होती है।

बिनोमियल वितरण का औसत

बिनोमियल वितरण का औसत निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = np$$

जहाँ:

• $E(X)$ बिनोमियल वितरण का औसत है
• n परीक्षण की संख्या है
• p प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना है

गणना:

किसी यादृच्छिक चर $X$ का औसत वही होता है जो $X$ के अपेक्षित मान को व्यवहारिकताओं से गणना करके पाया जा सकता है, जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = \sum_{x=0}^n xP(X = x)$$

यहाँ $P(X = x)$, $X$ के मान $x$ को लेने की संभावना है।

बिनोमियल वितरण के लिए, $X = x$ की संभावना निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

यहाँ $\binom{n}{x}$ बिनोमियल संख्या है, जो $n$ वस्तुओं के सेट से $x$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या है।

इसे औसत के लिए समीकरण में स्थानांतरित करने से हमें मिलता है:

$$E(X) = \sum_{x=0}^n x \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

हम इस समीकरण का उपयोग निम्नलिखित उपयोग करके सरल बना सकते हैं:

$$\sum_{x=0}^n x \binom{n}{x} = n$$

इस साधारणता को परिप्रेक्ष्य में बढ़ावा देकर सिद्ध किया जा सकता है।

इस पहचान को समय के लिए मुख्यत: समीकरण में बदलतें हैं, हमें मिलता है:

$$E(X) = np\sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$

इस अभिव्यक्ति में योग करने से, हम इसे सरल रूप में कर सकते हैं:

$$E(X) = np$$

इसलिए, बाइनोमियल वितरण की औसत $np$ होती है।

बाइनोमियल वितरण का वेरियेंस

बाइनोमियल वितरण का वेरियेंस निम्नलिखित होता है:

$$V(X) = np(1-p)$$

यहाँ:

• $V(X)$ बाइनोमियल वितरण का वेरियेंस है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की संभावना है

प्रमाणीकरण:

एक यादृच्छिक प्रांशिकी $X$ का वेरियेंस उसके माध्यम से उत्पन्न होता है, जिसे निम्नलिखित द्वारा प्रदत्त किया जाता है:

$$V(X) = E[(X - E(X))^2]$$

यहाँ $E(X)$ $X$ का माध्यम है।

बाइनोमियल वितरण के लिए, माध्यम $np$ द्वारा दिया गया है। में इसे वेरियेंस के लिए समीकरण में सबस्टिच्यूट करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

$$V(X) = E[(X - np)^2]$$

वर्ग को विस्तारित करते हुए, हम पाते हैं:

$$V(X) = E[X^2 - 2npX + n^2p^2]$$

हम निम्नलिखित पहचानों का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति को सरल कर सकते हैं:

$$E(X^2) = \sum_{x=0}^n x^2P(X = x)$$

$$E(XY) = \sum_{x=0}^n x yP(X = x, Y = y)$$

यहाँ $P(X = x, Y = y)$ $X$ पर $x$ मान धारण करने और $Y$ पर $y$ मान धारण करने की संयुक्त संभावना होती है।

इन पहचानों का उपयोग करके, हम वेरियेंस के लिए समीकरण को सरल कर सकते हैं:

$$V(X) = np(1-p)$$

इसलिए, बाइनोमियल वितरण का वेरियेंस $np(1-p)$ होता है।

उदाहरण को समझने के लिए समस्या को हल करना

परिचय

संयोजनीयता सिद्धांत और सांख्यिकी शास्त्र में, बाइनोमियल वितरण एक विधानात्मक संख्या में सफलताओं की संख्या का एक विधानात्मक संख्या वितरण होता है, जिनमें प्रत्येक को या तो सफलता के साथ सम्पन्न किया जाता है, या सफलता के बिना। प्रत्येक का सफलता के बिना होने का अवधारणात्मक प्रायोजन प्रत्‍येक संतोषक की संभावना $p$ होती है।

बाइनोमियल वितरण की माध्य, और वैयंक्तिकता निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिया जाता है:

• माध्य: $\mu = np$
• वैयंक्तिकता: $\sigma^2 = np(1-p)$

यहाँ $n$ प्रयोगों की संख्या है और $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभावना है।

उदाहरण

मान लें हमारे पास $n = 10$ और $p = 0.5$ के साथ एक बाइनोमियल वितरण है। इसका अर्थ है कि हम 10 स्वतंत्र प्रयोग कर रहे हैं, जिनमें प्रत्येक का 50% संभावना है।

इस वितरण की माध्य ढूंढने के लिए, हम प्रत्येक प्रायोग की मान्यता ज्यामिति में $n$ और $p$ की मानें प्रविष्ट करते हैं:

$\mu = np = 10 \times 0.5 = 5$

इसलिए, इस बाइनोमियल वितरण की माध्य 5 है।

इस वितरण की वैयंक्तिकता ढूंढने के लिए, हम वैयंक्तिकता के सूत्र में $n$ और $p$ की मानें प्रविष्ट करते हैं:

$\sigma^2 = np(1-p) = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$

इसलिए, इस बाइनोमियल वितरण की वैयंक्तिकता 2.5 है।

इस उदाहरण में, हमने दिखाया है कि बाइनोमियल वितरण की माध्य और वैयंक्तिकता कैसे मिलती है। इन सूत्रों का उपयोग करके, इस वितरण के अपेक्षित मान और विस्तार की गणना करने के लिए, जो इस वितरण का व्यवहार समझने के लिए उपयोगी हो सकते हैं।

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण की माध्य और वैयंक्तिकता

संख्या परिभाषा वाला नकारात्मक बाइनोमियल वितरण एक अविच्छिन्न संभावना वितरण है जो निर्दिष्ट असफलता की संख्या तक सफलताएँ वर्णित करता है। यह ज्यामित्रीय वितरण का सामान्यीकरण है, जो पहली असफलता तक सफलताओं की संख्या वर्णित करता है।

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का औसत

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का औसत निम्न माध्यम्य द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = \frac{r \theta}{1-\theta}$$

यहाँ:

• $X$ एक साम्प्रदायिक यादृच्छिक चर को गिनती करेगा, जो $r^{th}$ असफलता तक सफलताएँ गिनता है
• $r$ असफलता की संख्या है
• $\theta$ प्रत्येक प्रयास पर सफलता की संभावना है

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का विचलन

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का विचलन निम्न माध्यम्य द्वारा दिया जाता है:

$$V(X) = \frac{r \theta}{(1-\theta)^2}$$

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण के औसत और विचलन के गुणधर्म

• नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का औसत हमेशा ज्यामित्रीय वितरण के औसत से अधिक या उसके बराबर होता है।
• नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का विचलन हमेशा ज्यामित्रीय वितरण के विचलन से अधिक या उसके बराबर होता है।
• नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का औसत और विचलन दोनों $r$ के बढ़ते फलन हैं।
• नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का औसत और विचलन दोनों $\theta$ के कम होते फलन हैं।

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण के अनुप्रयोग

नकारात्मक बाइनोमियल वितरण को विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जैसे:

• गुणतत्व नियंत्रण: नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का उपयोग किया जा सकता है एक विनिर्मित उत्पाद में दोषों की संख्या को मॉडल करने के लिए।
• बीमा: नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का उपयोग किया जा सकता है किसी बीमा धारक द्वारा की गई दावों की संख्या को मॉडल करने के लिए।
• प्रमाणीकरण अभियांत्रिकी: नकारात्मक बाइनोमियल वितरण का उपयोग किया जा सकता है किसी घटक के बदलने से पहले उसके असफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए।

विशेष मामला: यदि बाइनोमियल वितरण का औसत और विचलन समान हैं अगर

एक बाइनोमियल वितरण में, औसत और विचलन आमतौर पर अलग होते हैं। हालांकि, एक ऐसा विशेष मामला है जहां औसत और विचलन बराबर होते हैं। यह होता है जब सफलता की संभावना, $p$, 0.5 के बराबर होती है।

प्रमाणित करना

एक बाइनोमियल वितरण का औसत निम्न रूप में दिया जाता है:

$$E(X) = np$$

और विचलन निम्न रूप में दिया जाता है:

$$V(X) = np(1-p)$$

यदि $p = 0.5$, तो:

$$E(X) = n(0.5) = \frac{n}{2}$$

$$V(X) = n(0.5)(1-0.5) = \frac{n}{4}$$

इसलिए, यदि $p = 0.5$, बाइनोमियल वितरण का औसत और विचलन दोनों $n/4$ के बराबर होते हैं।

प्रतीति

यह परिणाम मनोवैज्ञानिक रूप से समझा जा सकता है निम्न दृष्टि से। मान लीजिए आप एक साधारण सिक्का $n$ बार उड़ा रहे हैं। किसी दिए गए उड़ान पर हेड्स पाने की संभावना 0.5 होती है। अगर आप सिक्का $n$ बार उड़ाते हैं, तो आपको लगभग $n/2$ बार हेड्स मिलने की उम्मीद होगी। यह इसलिए है क्योंकि हेड्स की संख्या $n$ प्रयासों और $p = 0.5$ के साथ बाइनोमियल वितरण के अनुसार होती है।

अब, सिरे के वेरिएंस को विचार करें। वेरिएंस डेटा की फैलाव का माप है। इस मामले में, डेटा मीन के आस-पास बराबर रूप से फैला हुआ है। यह इसलिए है क्योंकि 0 से $n$ तक किसी भी सिरों की संख्या प्राप्त करने की संभावना समान है।

इसलिए, यदि $p = 0.5$ है, तो एक यात्राकारी वितरण की मीन और वेरिएंस दोनों $n/4$ के बराबर होते हैं। यह इसलिए है क्योंकि वितरण मीन के चारों ओर समान प्रमण में सममित है और डेटा मीन के आस-पास बराबर रूप से फैला हुआ है।

बाइनोमियल वितरण की मीन और वेरिएंस की गुणधर्म

बाइनोमियल वितरण, स्वतंत्र प्रयोगों के एक क्रम में सफलताओं की संख्या का एक ग्राम्यास्थानीय वितरण है, जिसमें मान और वेरिएंस छः महत्वपूर्ण गुणधर्म हैं।

बाइनोमियल वितरण की मीन और वेरिएंस की गुणधर्म

बाइनोमियल वितरण की मीन और वेरिएंस के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं:

• बाइनोमियल वितरण का मान $n$ के एक रैखिक कार्यकारी है। यह यह अर्थ करता है कि मीन प्रयोगों की संख्या के समानुपातिक रूप में बढ़ता है।
• बाइनोमियल वितरण की वेरिएंस $n$ के एक बहुपदी कार्यकारी है। यह यह अर्थ करता है कि वेरिएंस प्रयोगों की संख्या के बढ़ने के साथ मीन से कम गति से बढ़ता है।
• बाइनोमियल वितरण की मीन और वेरिएंस सफलता की संभावना $p$ से अवेगीत नहीं होतीं हैं। यह यह अर्थ करता है कि संभावना की प्राप्ति के साथ वितरण का आकार नहीं बदलता है।

ये गुणधर्म बाइनोमियल वितरण के व्यवहार को समझने और बाइनोमियल प्रयोग में सफलता की संभावना के बारे में निष्कर्ष निकालने में मददगार होते हैं।

बाइनोमियल वितरण की मीन और वेरिएंस के अनुप्रयोग

बाइनोमियल वितरण की मीन और वेरिएंस के विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न अनुप्रयोग होते हैं। यहां कुछ उदाहरण हैं:

1. गुणवत्ता नियंत्रण:

• गुणवत्ता नियंत्रण में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग किए जाते हैं ताकि निर्धारित आकार के नमूने में कुछ दोषपूर्ण आइटम प्राप्त करने की संभावना निकाली जा सके। इस जानकारी का उपयोग गुणवत्ता मानकों को सेट करने और उत्पादों के बैच को स्वीकार या अस्वीकार करने के बारे में निर्णय लेने के लिए किया जा सकता है।

2. चिकित्सा अनुसंधान:

• चिकित्सा अनुसंधान में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग उपचारों या हस्तक्षेपों की प्रभावकारिता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अनुसंधानकर्ता नई उपचार प्राप्त करने के बाद एक रोगी के रोग से सही होने की संभावना निर्धारित करने के लिए बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है।

3. सर्वेक्षण नमूनाकरण:

• सर्वेक्षण नमूनाकरण में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग एक विशेष गुणवत्ता वाले जनसंख्या का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षणकर्ता एक आगामी चुनाव में किसी विशेष उम्मीदवार के लिए वोट देने वाले मतदाताओं की प्राप्ति का अनुमान लगाने के लिए बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है।

4. बीमा:

- बीमारी विमार्‍यता में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग प्रीमियम और जोखिमों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीमा कंपनी एक दिए गए वर्ष में कार दुर्घटना के होने की संभावना की गणना करने और मुद्रारकों के अनुसार प्रीमियम सेट करने के लिए बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकती है।

5. वित्तीय विश्लेषण:

• वित्तीय विश्लेषण में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग वित्तीय निवेश की सफलता या असफलता की संभावना को मॉडल करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक निवेशक एक निश्चित अवधि के दौरान शेयर की कीमत में वृद्धि या कमी की संभावना का आकलन करने के लिए बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है।

6. खेल विश्लेषण:

• खेल विश्लेषण में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग खिलाड़ियों और दलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक खेल विश्लेषक बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है ताकि वे बास्केटबॉल खिलाड़ी के द्वारा फ्री थ्रो किया जाने या बेसबॉल खिलाड़ी द्वारा हिट प्राप्त करने की संभावना का आकलन कर सकें।

7. सामाजिक विज्ञान शोध:

• सामाजिक विज्ञान शोध में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग व्यक्तियों और समूहों के व्यवहार और पसंदों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामाजिक वैज्ञानिक किसी व्यक्ति द्वारा किसी निर्वाचन पार्टी के लिए वोट करने या किसी विशेष ब्रांड का उपयोग करने की संभावना का आकलन करने के लिए बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है।

8. इंजीनियरिंग और विनिर्माण:

• इंजीनियरिंग और विनिर्माण में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग उत्पादों और प्रणालियों की विश्वसनीयता और गुणवत्ता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक इंजीनियर बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है ताकि वे एक कंपोनेंट के खराब होने की संभावना या एक उत्पाद के निर्दिष्ट विन्यास की पूर्णता आकलन कर सकें।

9. शिक्षा:

• शिक्षा में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग परीक्षाओं और मूल्यांकनों पर छात्रों के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक शिक्षक बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है ताकि वे एक छात्र द्वारा एक सवाल का सही जवाब देने या एक परीक्षा में पास होने की संभावना का आकलन कर सकें।

10. विपणन और विज्ञापन:

• विपणन और विज्ञापन में, बाइनोमियल वितरण का उपयोग विपणन अभियानों और विज्ञापन रणनीतियों की प्रभावीता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक मार्केटर बाइनोमियल वितरण का उपयोग कर सकता है ताकि वे उसके विज्ञापन को देखने के बाद एक ग्राहक द्वारा उत्पाद की खरीदारी की संभावना का आकलन कर सकें।

ये कुछ उदाहरण हैं जो बाइनोमियल वितरण की माध्य औसत और विचत्र से कई विभिन्न क्षेत्रों में विद्यमान समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है।

बाइनोमियल वितरण की माध्य औसत और विचत्र FAQ

बाइनोमियल वितरण की माध्य औसत क्या होती है?

• बाइनोमियल वितरण की माध्य औसत एक यादृच्छिक प्रतिस्थान की अपेक्षित मूल्य होती है, जो हर एक संभावित परिणाम और उसकी संभावना के उत्पादों के योग का रूप होती है।
• पैरामीटर $n$ और $p$ वाले बाइनोमियल वितरण के लिए, माध्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$\mu = np$$

• यहां:
• $n$ प्रयोगों की संख्या है।
• $p$ प्रत्येक प्रयास पर सफलता की संभावना है।

बाइनोमियल वितरण की विचत्र क्या होती है?

• एक बाइनोमियल वितरण का वैयरिएंस वितरण कितना विस्तारित है का माप है।
• पैरामीटर $n$ और $p$ के साथ एक बाइनोमियल वितरण के लिए, वैयरिएंस निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \sigma^2 = np(1-p)$$

• जहां:
• $n$ परीक्षणों की संख्या है।
• $p$ प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना है।

बाइनोमियल वितरण के औसत और वैरिएंस के बीच सम्बन्ध क्या है?

• एक बाइनोमियल वितरण का औसत और वैरिएंस निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित होते हैं:

$$ \sigma^2 = np(1-p) = n\mu(1-\mu)$$

• यह समीकरण दिखाता है कि वैरिएंस औसत के प्रतिशत के बराबर है, और वैरिएंस उस बढ़ते हुए औसत के साथ बढ़ता है।

बाइनोमियल वितरण के औसत और वैरिएंस को कैसे बदलते हैं जब $n$ और $p$ बदलते हैं?

• एक बाइनोमियल वितरण का औसत $n$ बढ़ने और $p$ बढ़ने के साथ बढ़ता है।
• एक बाइनोमियल वितरण का वैरिएंस $n$ बढ़ने के साथ बढ़ता है और $p$ बढ़ते ही कम होता है।

बाइनोमियल वितरण के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

• बाइनोमियल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:
• गुणवत्ता नियंत्रण
• स्थायित्व अभियांत्रिकी
• चिकित्सा अनुसंधान
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान
• व्यावसायिक निर्णय लेने