ल’हॉपितल के नियम

ल’हॉपितल के नियम एक गणितीय तकनीक है जिसका प्रयोग करके हम इंदफलता व्यक्ति $\frac{0}{0}$ या $\frac{\infty}{\infty}$ के रूप में होने वाले अनिश्चित अभिव्यक्ति की सीमा का मूल्यांकन करते हैं। इसमें कहा गया है कि यदि एक भिन्नसूचक के प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका सीमा दोनों 0 हैं या दोनों अणन्तता हैं, तो भिन्नसूचक की सीमा प्रमुखरीयक की अणन्तता के प्रमुखरीयक के प्रमुख संक्षिप्तिका की महत्वकांकन के बराबर होती है।

दूसरे शब्दों में, यदि $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ है या $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$ है, तो $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$$

इस बात की प्रदान की है कि प्रमुख संक्षिप्तिका की प्रमुख्रीयक शून्य नहीं है।

ल’हॉपितल के नियम का लागू करने के लिए चरण

ल’हॉपितल के नियम का लागू करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1. भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा की जांच करें कि वे दोनों शून्य या दोनों अणन्तता हैं।
2. यदि भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा दोनों 0 है, तो प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की प्रमुख्रीयक ले लें।
3. चरण 2 को दोहराएँ जब तक भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा अब 0 नहीं होती है।
4. यदि भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा दोनों अणन्तता है, तो प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की प्रमुख्रीयक ले लें।
5. चरण 4 को दोहराएँ जब तक भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा अब अणन्तता नहीं होती है।
6. भिन्नसूचक की सीमा का मूल्यांकन करके प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा के मान का स्थानांतरण करके भिन्नसूचक की सीमा का मूल्यांकन करें जो जो निम्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका के बराबर होती है।

ल’हॉपितल के नियम के उदाहरण

यहां ल’हॉपितल के नियम का कुछ उदाहरण हैं:

उदाहरण 1: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ की मूल्यांकन करें।

समाधान:

1. $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ और $\lim_{x \to 0} x = 0$ है, इसलिए भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा दोनों 0 है।
2. प्रमुख संक्षिप्तिका और प्रमुखरीयक की प्रमुख्रीयक लेने पर हमें मिलता है $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \lim_{x \to 0} \cos x = 1.$$

इसलिए, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ है।

उदाहरण 2: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ की मूल्यांकन करें।

समाधान:

1. $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ और $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ है, इसलिए भिन्नसूचक की प्रमुखरीयक और प्रमुख संक्षिप्तिका की सीमा दोनों अणन्तता हैं।
2. प्रमुख संक्षिप्तिका और प्रमुखरीयक की प्रमुख्रीयक लेने पर हमें मिलता है $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0.$$

इसलिए, $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ है।

निष्कर्ष

ल’हॉपितल के नियम एक इंदफल अभिव्यक्तियों की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका प्रयोग एक बिन्दु पर असंयमता रखने वाले फ़ंक्शनों की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, या ऐसे फ़ंक्शनों की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए जो अव्यवस्थिताओं को शामिल करते हैं।

ल’हॉपितल के नियम का प्रमाण

यदि x को निकटता से a के रूप में देखा जाए तो समीकरण f(x)/g(x) का सीमा 0/0 या ∞/∞ होता है और yदि x को निकटता से a के रूप में देखा जाए तो सामीकरण f’(x)/g’(x) की सीमा मौजूद होती है, तो समीकरण f(x)/g(x) का सीमा x को निकटता से a के रूप में f’(x)/g’(x) का सीमा के बराबर होता है.

अन्यथा कहें तो, यदि f(x)/g(x) का सीमा 0/0 या ∞/∞ होता है, तो हम f’(x)/g’(x) का सीमा लेकर सीमा की गणना करके सीमा का पता लगा सकते हैं.

ल हॉपिटल के नियम के प्रमाण

ल हॉपिटल के नियम के प्रमाण में मीन वैल्यू थियोरेम पर आधारित है। मीयन वैल्यू थियोरेम कहता है कि यदि f(x) [a, b] अवधि पर एक सतत समीकरण है और (a, b) अवधि पर विभेदय है, तो संख्या c ऐसा है जो मिन वैल्यू थियोरेम पर,

$$f’(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

ल हॉपिटल के नियम को हम निम्नपत्र के रूप में प्रमाणित कर सकते हैं:

फो(x) और गो(x) दो सततसमीकरण हैं जो [a, b] अवधि पर सतत हैं और (a, b) अवधि पर विभेदय हैं। मान लें कि f(x)/g(x) का सीमा x को a के रूप में 0/0 या ∞/∞ है। तो, मीन वैल्यू थियोरेम के अनुसार, (a, b) अवधि में ऐसा संख्या c होता है जिसके बारे में,

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = f’(c).$$

यदि x को a के रूप में देखा जाए तो स्वरूप f(x)/g(x) का सीमा 0/0 या ∞/∞ होता है, तो हमें निम्नपत्र टाइप कर सकते हैं,

$$\lim_{x \to a} \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \quad \text{or} \quad \lim_{x \to a} \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty.$$

आयतनानुसार,

$$\lim_{x \to a} f’(c) = 0 \quad \text{or} \quad \lim_{x \to a} f’(c) = \infty.$$

क्योंकि f’(x) (a, b) अवधि पर सतत है, हमें निम्नपत्र टाइप कर सकते हैं,

$$\lim_{x \to a} f’(x) = \lim_{x \to a} f’(c).$$

इसलिए,

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} f’(x) = \lim_{x \to a} f’(c).$$

ल हॉपिटल के नियम का यहां प्रमाण है।

ल हॉपिटल के नियम के उदाहरण

ल हॉपिटल के नियम का प्रयोग करके कई सारे सततसमीकरण की सीमा का पता लगाया जा सकता है। यहां कुछ उदाहरण हैं:

• उदाहरण 1: $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा x को 1 के रूप में पता करें।

समाधान: (x^2 - 1)/(x - 1) की सीमा x को 1 के रूप में 0/0 है। इसलिए, हम ल हॉपिटल के नियम का प्रयोग कर सकते हैं ताकि सीमा का पता लगा सकें।

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} = 2.$$

इसलिए, $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा x को 1 के रूप में 2 होती है।

• उदाहरण 2: $(e^x - 1)/x$ की सीमा x को 0 के रूप में पता करें।

समाधान:(e^x - 1)/x की सीमा x को 0 के रूप में 0/0 होती है। इसलिए, हम ल हॉपिटल के नियम का प्रयोग कर सकते हैं ताकि सीमा का पता लगा सकें।

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1.$$

इसलिए, $(e^x - 1)/x$ की सीमा x को 0 के रूप में 1 होती है।

• उदाहरण 3: (ln x)/x की सीमा x को 0 के रूप में पता करें।

समाधान: (ln x)/x की सीमा x को 0 के रूप में 0/0 होती है। इसलिए, हम ल हॉपिटल के नियम का प्रयोग कर सकते हैं ताकि सीमा का पता लगा सकें।

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{1} = 0.$$

इसलिए, (ln x)/x की सीमा x को 0 के रूप में 0 होती है।

निष्कर्ष

ल हॉपिटल का नियम एक शक्तिशाली टूल है जो कई विभिन्न फ़ंक्शन्स की सीमा ढूंढने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। यह मीन मान सिद्धांत पर आधारित होता है और उपयोग करना आसान है।

#####ल हॉपिटल के नियम का उपयोग

ल हॉपिटल के नियम का मानवीय स्वरूप के सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए गणितीय तकनीक है। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है जब कोई फ़ंक्शन की सीमा 0/0 या ∞/∞ हो।

#####ल हॉपिटल के नियम कब उपयोग करें

ल हॉपिटल के नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब कोई फ़ंक्शन का मान मानदेय आविष्कारी के एक निश्चित मूल्य के पास पहुंचता है और उसके विभाजक और संवर्धक दोनों सीमा में जाते हैं, जबकि रूपांतरणमान की सीमा 0 हो या न की जब आवेदक संख्या के लिए एक निश्चित मूल्य से दूसरा प्रतिसंवर्धक हो।

#####ल हॉपिटल के नियम का उपयोग कैसे करें

ल हॉपिटल के नियम का उपयोग करने के लिए, फ़ंक्शन के उपरकरणकारी और श्रेणीकारी का अविकलन लें और फिर परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति की सीमा का मूल्यांकन करें। यदि अभिलेख का सीमा एक सीमित संख्या है, तो वह संख्या मूल फ़ंक्शन की सीमा होती है।

#####ल हॉपिटल के नियम का उपयोग करने के उदाहरण

यहां ल हॉपिटल के नियम का उपयोग करके सीमाओं का मूल्यांकन करने का कुछ उदाहरण हैं:

• उदाहरण 1: सीमा ढूंढें वाले फ़ंक्शन $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ की सीमा जब $x$ 3 के नजदीक आता है।

समाधान:

फ़ंक्शन की सीमा 0/0 है, इसलिए हम ल हॉपिटल के नियम का उपयोग कर सकते हैं। उपरकरणकारी और श्रेणीकारी का अविकलन लेते हैं, हमें मिलता है:

$$f’(x) = \frac{2x}{1}$$

अभिव्यक्ति की सीमा का मूल्यांकन करते हैं, हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 3} \frac{2x}{1} = 6$$

इसलिए, मूल फ़ंक्शन की सीमा 6 होती है।

• उदाहरण 2: सीमा ढूंढें वाले फ़ंक्शन $g(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ की सीमा जब $x$ 0 के नजदीक आता है।

समाधान:

फ़ंक्शन की सीमा ∞/∞ है, इसलिए हम ल हॉपिटल के नियम का उपयोग कर सकते हैं। उपरकरणकारी और श्रेणीकारी का अविकलन लेते हैं, हमें मिलता है:

$$g’(x) = \frac{e^x}{1}$$

अभिव्यक्ति की सीमा का मूल्यांकन करते हैं, हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$$

इसलिए, मूल फ़ंक्शन की सीमा 1 होती है।

#####निष्कर्ष

ल हॉपिटल का नियम निष्पादनीय रूपों की सीमाओं का मूल्यांकन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका उपयोग करना आसान है और इसे विभिन्न फ़ंक्शन्स पर लागू किया जा सकता है।

#####रूपांतरित नियम के लिए सालत।

ल हॉपिटल का नियम एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग निष्पादनीय रूपों की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। यह कहता है कि यदि कोई अंश और बहुपदी के कट्टी के परिमाणों की सीमा दोनों मे 0 हो या दोनों मे अनंत हो, तो ऐसे काट्टी की सीमा अंश के उत्पादक के अभिलेख की परिवर्तनी की सीमा के समान होता है।

यहां ल नियम के बारे में कुछ विस्तृत उदाहरण हैं:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{3x^2 - 2} = 0$$

इसलिए, व्यक्ति की सीमा 0 है।

उदाहरण 3:

$x$ के 0 के पास पहुंचते हुए निम्नलिखित प्रकार की सीमा ढूंढें:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

समाधान:

लोपिताल का नियम इस्तेमाल करके, हमारे पास है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$$

इसलिए, व्यक्ति की सीमा 1 है।

उदाहरण 4:

$x$ के अनंतता के पास पहुंचते हुए निम्नलिखित प्रकार की सीमा ढूंढें:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}$$

समाधान:

लोपिताल का नियम इस्तेमाल करके, हमारे पास है:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$$

इसलिए, व्यक्ति की सीमा 0 है।

उदाहरण 5:

$x$ के 0 के पास पहुंचते हुए निम्नलिखित प्रकार की सीमा ढूंढें:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}$$

समाधान:

लोपिताल का नियम इस्तेमाल करके, हमारे पास है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(x)}{1} = 1$$

इसलिए, व्यक्ति की सीमा 1 है।

L Hospital Rule FAQs

L’Hôpital का नियम एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग अनिश्चित रूपों की सीमा की मान्यता करने के लिए किया जाता है। यह कहता है कि अगर एक अंश के लिए वंशक एवं वंशकीय का प्रतिसंबंध दोनों 0 या दोनों अविन्द्य हैं, तो उस अंश की सीमा वंशकीय के वंशक के प्रतिसंबंध की सीमा के बराबर होती है।

यहाँ ल’Hôpital के नियम के बारे में कुछ आम प्रश्न हैं:

कब मैं ल’Hôpital का नियम उपयोग कर सकता हूँ?

आप ल’Hôpital का नियम उपयोग कर सकते हैं जब एक भिन्न की एक अंश की सीमा अनिश्चित हो, अर्थात यह या तो 0/0 हो या ∞/∞ हो।

मैं ल’Hôpital का नियम कैसे लागू करूँ?

ल’Hôpital का नियम लागू करने के लिए, आपको भिन्न के वंशक और वंशकी का वंशनी ह्रास करना है और फिर प्राप्त अभिव्यक्ति की सीमा का मूल्यांकन करना है।

यदि वंशकी की सीमा भी अनिश्चित हो तो क्या होगा?

यदि वंशकी की सीमा भी अनिश्चित हो, तो आप फिर से ल’Hôpital का नियम लागू कर सकते हैं। आप चाहें तो इसे इतनी बार लागू कर सकते हैं जितनी बार आवश्यक हो, जब तक आप एक सीमा तक पहुंचते हैं जो अनिश्चित नहीं होती है।

क्या ल’Hôpital के नियम का उपयोग करने पर कोई प्रतिबंध होता है?

हाँ, ल’Hôpital के नियम के कुछ प्रतिबंध होते हैं। यदि वंशक की सीमा या वंशकी की सीमा की परिभाषित नहीं है, तो आप ल’Hôpital के नियम का उपयोग नहीं कर सकते। आप यह भी नहीं कर सकते कि यदि वंशक की वंशकी या वंशकी का वंशक संबंधित बिंदु पर निरंतर नहीं होता है।

ल’Hôpital के नियम का उपयोग करने के लिए कुछ उदाहरण हैं?

यहां ल’Hôpital के नियम का उपयोग करने के कुछ उदाहरण हैं:

• उदाहरण 1: $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा $(x\to1)$ के पास पहुंचते हुए खोजें।

समाधान:

$$lim_{(x\to1)} (x^2 - 1)/(x - 1) = lim_{(x\to1)} (2x)/(1) = 2$$

• उदाहरण 2: $(e^x - 1)/x$ की सीमा $(x\to0)$ के पास पहुंचते हुए खोजें।

समाधान:

$$lim_{(x\to0)} (e^x - 1)/x = lim_{(x\to0)} (e^x)/1 = ∞$$

• उदाहरण 3: $(ln(x))/x$ की सीमा $(x\to0)$ के पास पहुंचते हुए खोजें।

समाधान:

$$lim_{{(x\to0)}} (ln(x))/x = lim_{(x\to0)} (1/x)/1 = 0$$

निष्कर्ष

L’Hôpital’s नियम अनिश्चित रूपों की सीमाओं की मर्यादाओं को समझना और इसे सही तरीके से लागू करना महत्वपूर्ण है।