इसोसेलेस त्रिभुज

इसोसेलेस त्रिभुज के प्रकार

इसोसेलेस त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें दो बराबर पक्ष होते हैं। तीसरा पक्ष किसी भी लंबाई का हो सकता है। इसोसेलेस त्रिभुजों को उनके पक्षों की लंबाई के आधार पर तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

1. समानभुज त्रिभुज

• समानभुज त्रिभुज एक इसोसेलेस त्रिभुज होता है जिसमें तीनों पक्ष बराबर लंबाई के होते हैं।
• समानभुज त्रिभुज के सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं।
• समानभुज त्रिभुज भी नियमित बहुभुज होते हैं, जिसका अर्थ होता है कि उनके सभी पक्ष और कोण बराबर होते हैं।

2. समकोण इसोसेलेस त्रिभुज

• समकोण इसोसेलेस त्रिभुज एक इसोसेलेस त्रिभुज होता है जिसमें त्रिभुज के एक कोण को समकोण (90 डिग्री) कहा जाता है।
• समकोण इसोसेलेस त्रिभुज के दो बराबर पक्षों को शीर्षक कहा जाता है, और तीसरा पक्ष को हाइपोटेन्यूज़ कहा जाता है।
• पाइथागोरस का सूत्र समकोण इसोसेलेस त्रिभुज के हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई ढूंढने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

3. धुंधक इसोसेलेस त्रिभुज

• धुंधक इसोसेलेस त्रिभुज एक इसोसेलेस त्रिभुज होता है जिसमें त्रिभुज का एक कोण धुंधाकारी कोण होता है (90 डिग्री से अधिक)।
• धुंधक इसोसेलेस त्रिभुज के दो बराबर पक्षों को धुंधक कहा जाता है, और तीसरा पक्ष को आधार कहा जाता है।
• धुंधक इसोसेलेस त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होता है।

इसोसेलेस त्रिभुज की सूत्र

इसोसेलेस त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो बराबर पक्ष होते हैं। इसोसेलेस त्रिभुज के क्षेत्रफल की सूत्र है:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

यहां:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग माप में होता है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई यूनिट माप में होती है
• h त्रिभुज की ऊंचाई यूनिट माप में होती है

सूत्र का आविष्कार

इसोसेलेस त्रिभुज के क्षेत्रफल की सूत्र को त्रिभुज के क्षेत्रफल की सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

यहां:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग माप में होता है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई यूनिट माप में होती है
• h त्रिभुज की ऊंचाई यूनिट माप में होती है

इसोसेलेस त्रिभुज में, दो बराबर पक्षों को त्रिभुज के धुंधमें दिए गए निंदु की लंबाई कहा जाता है। इसोसेलेस त्रिभुज की ऊंचाई पाइथागोरस का सूत्र का उपयोग करके ढूंढी जा सकती है। पाइथागोरस का सूत्र कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, हाइपोटेन्यूज़ का वर्ग दुसरे दो पक्षों के वर्गों का योग के बराबर होता है।

इसोसेलेस त्रिभुज में, हाइपोटेन्यूज़ त्रिभुज के वर्टेक्स के विपरीत पक्ष होता है। दूसरे दो पक्ष होते हैं त्रिभुज के धुंधमें। त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज के वर्टेक्स से आधार के मध्यबिंदु तक की रेखा की लंबाई होती है।

पाइथागोरस के सूत्र का उपयोग करके हम इसोसेलेस त्रिभुज की ऊंचाई निम्नानुसार ढूंढ सकते हैं:

$$h^2 = l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

यहां:

• h त्रिभुज की ऊंचाई यूनिट माप में होती है
• l त्रिभुज के धुंधक की लंबाई यूनिट माप में होती है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई यूनिट माप में होती है

h के लिए समाधान करते हुए, हमें मिलता है:

$$ह = \sqrt{ल^2 - \left(\frac{ब}{2}\right)^2}$$

इस व्यक्त को उसके ज्यामिति के लिए सूत्र में स्थानांतरित करने के बाद, हमें मिलता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2}ब\sqrt{ल^2 - \left(\frac{ब}{2}\right)^2}$$

यह एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है।

उदाहरण

6 इकाइयों के आधार और 8 इकाइयों के पैर के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ढूंढें।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2}बh$$

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2}(6)(8)$$

$$क्षेत्रफल = 24 \text{ वर्ग इकाइयाँ}$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाइयाँ है।

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें दो समान भुजाएँ होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊँचाई$$

जहां:

• आधार त्रिभुज के एक समान भुज की लंबाई है
• ऊँचाई शीर्ष से आधार तक खींची गई ऊँचाई की लंबाई है

उदाहरण

6 सेमी की आधार और 4 सेमी की ऊँचाई वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ढूंढें।

समाधान:

सूत्र का प्रयोग करते हुए, हमें मिलता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times 6 सेमी \times 4 सेमी = 12 सेमी^2$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 सेमी^2 है।

विशेष मामला: समान्तर त्रिभुज

समान्तर त्रिभुज एक समांतर त्रिभुज का विशेष मामला है जहां तीनों भुजाएँ समान होती हैं। समान्तर त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

$$क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4} \times भुज की लंबाई^2$$

जहां:

• भुज की लंबाई समांतर त्रिभुज की एक भुज की लंबाई है

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र के द्वारा

हीरोन के सूत्र

हीरोन के सूत्र एक गणितीय सूत्र है जिसका उपयोग त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयों की सहायता से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जाता है। यह सूत्र 1वीं सदी ईसा पूर्व में जीवित रहने वाले यूनानी गणितज्ञ हीरोन ऑफ एलेक्जेंड्रिया के नाम पर रखा गया है।

सूत्र के अनुसार, त्रिभुज के तीनों भुजों के लंबाई $l$, $m$, और $n$ होने के कारण उसका क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित रूप में दिया जा सकता है:

$$A = \sqrt{s(s-l)(s-m)(s-n)}$$

जहां $s$ त्रिभुज का आर्द्रपरिमाप है, जो उसकी तीनों भुजों की योगफल के आधा होता है:

$$s = \frac{l + m + n}{2}$$

समद्विबाहु त्रिभुज पर हीरोन के सूत्र का उपयोग

समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो समान भुजाएँ होती हैं। आइए मानें कि समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजों की लंबाई $l$ हो और तीसरी भुज की लंबाई $m$ हो।

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित रूप में दिया जा सकता है:

$$A = \sqrt{(s-m)s(s-l)^2}$$

इस अभिव्यक्ति को सरल रूप में लिखते हैं:

$$A = \sqrt{(s-l)^2s(s-m)}$$

उदाहरण

हम एक समद्विबाहु त्रिभुज के भुजों $l = 5$, $l = 5$, और $m = 6$ की लंबाई का क्षेत्रफल निकालते हैं।

सबसे पहले, हम त्रिभुज के आर्द्रपरिमाप को गणित करते हैं:

$$s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8$$

फिर, हम $s$, $l$, और $m$ के मानों को हीरोन के सूत्र में डालते हैं:

$$A = \sqrt{(8-6)8(8-5)^2} = \sqrt{2 \cdot 8 \cdot 3^2} = \sqrt{144} = 12$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाइयाँ है।

समद्विबाहु त्रिभुज का गरिमा-बिंदु

एक समर्ब त्रिभुज उसकी आधी ऊंचाई (वर्ष्टित के बीच बिंदु) तक की रेखा की लंबाई है (जहां दो बराबर पक्षों के एक साथ मिलते हैं)।

समर्ब त्रिभुज की ऊंचाई की गणना

त्रिभुज की ऊंचाई की गणना के लिए निम्न चरणों का पालन करें:

1. पीकर्ण से आधार तक ऊंचाई खींचें।
2. आधार के आधार के अनुपात 1:2 में ऊंचाई को विभाजित करें, पीकर्ण से शुरू करके।
3. विभाजन का बिंदु समर्ब त्रिभुज की ऊंचाई होता है।

समर्ब त्रिभुज की ऊंचाई के अनुप्रयोग

समर्ब त्रिभुज की ऊंचाई कई अनुप्रयोगों में प्रयोग की जाती है, जैसे:

• समर्ब त्रिभुज का केंद्रभित्र ढाल करना
• समर्ब त्रिभुज पर वस्तुओं को संतुलित करना
• समर्ब त्रिभुज के माध्यों का पता लगाना

हाइट (अधिकतम) height एक एकसेसू३ त्रिभुज का उसकी ऊर्ध्वमापी (जहाँ दो समान पक्ष एकत्र होते हैं) से वसायी रेखा की लंबाई है (वर्ष्टी के केंद्र बिन्दु के सामान्य सीधे खिसयावत।)-di

समांतर त्रिभुज की ऊचाई की कुछ अलग-अलग तरीके होते हैं। एक तरीका होता है पाइथागोरस सिद्धांत का उपयोग करना। पाइथागोरस सिद्धांत के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में समतलीय त्रिभुज की वर्तुलाकार (सबसे लंबी ओर) का वर्ग दो अन्य दो साइडों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

समतलीय त्रिभुज में, दो समानांतर ओर समकोण त्रिभुज के पैर होते हैं, और ऊचाई वर्तुलाकार होती है। इसलिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके समतलीय त्रिभुज की ऊचाई निकाल सकते हैं:

$$h = √(b^2 - (s^2/4))$$

यहां:

• h समतलीय त्रिभुज की ऊचाई है
• b समतलीय त्रिभुज के आधार की लंबाई है
• s समतलीय त्रिभुज की एक समानांतर ओर की लंबाई है

उदाहरण

चलो एक समतलीय त्रिभुज की ऊचाई निकालते हैं जिसका आधार 10 सेमी है और समानांतर ओर 13 सेमी है।

h = √(10^2 - (13^2/4)) h = √(100 - 169/4) h = √(100 - 42.25) h = √57.75 h ≈ 7.6 सेमी

इसलिए, समतलीय त्रिभुज की ऊचाई लगभग 7.6 सेमी है।

समतलीय त्रिभुज का परिधि-संक्षेप

समतलीय त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें दो समानांतर ओर होते हैं। एक त्रिभुज का परिधि-संक्षेप उस वृत्त की त्रिपुणीयों से होता है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरती है।

समतलीय त्रिभुज के परिधि-संक्षेप का सूत्र

समतलीय त्रिभुज का परिधि-संक्षेप निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है:

$$R = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$$

यहां:

• $R$ त्रिभुज का परिधि-संक्षेप है
• $a$ त्रिभुज के समानांतर ओरों की लंबाई होती है
• $b$ त्रिभुज के आधार की लंबाई होती है

सूत्र का प्रमाणित करना

समतलीय त्रिभुज के परिधि-संक्षेप का सूत्र निम्न चरणों का प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

1. दो समानांतर ओरों और आधार के साथ एक समतलीय त्रिभुज बनाएं।
2. त्रिभुज का परिधि-वृत्त बनाएं।
3. $O$ को परिधि-वृत्त का केंद्र बनाएं।
4. माध्य बिंदुओं के प्रत्येक से $O$ तक त्रिज्या खींचें।
5. चूंकि त्रिभुज समानांतर है, इसलिए दो वेरियां जो समानांतर माध्य तक खींची गई हैं, वे सामरूप होती हैं।
6. $r$ को उन वेरियों की लंबाई का नाम दें जो समानांतर करवटों तक खींची गई हैं।
7. परिधि-वृत्त का त्रिज्या $r$ और त्रिभुज के आधार की लंबाई के योग का है।
8. इसलिए, त्रिभुज का परिधि-संक्षेप $$R = r + \frac{b}{2}$$ होता है।
9. $r$ के मान को ढूंढने के लिए, हम पाइथागोरस सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं।
10. पाइथागोरस सिद्धांत के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में वर्तुलाकार का वर्ग दो अन्य दो साइडों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
11. $r$ के माध्यम से बने समकोण त्रिभुज में, जिसमें समतलीय त्रिभुज का आधार, और त्रिभुज की ऊचाई होती है, हमारे पास होता है: $$r^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2$$
12. $r$ के लिए हल करने पर, हमें $$r = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$ मिलता है।
13. केंद्रीय वृत्त के त्रिज्या में $r$ के मान का स्थानांतरण करने पर, हमें $$R = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} + \frac{b}{2}$$ मिलता है।
14. सूत्र को सरलीकृत करने पर, हमें $$R = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$$ मिलता है।

उदाहरण

एक द्विसंघ त्रिभुज के परिमापीय व्यास को ढूंढें जिसमें पक्षों की लंबाईयां $a = 5$ और $b = 3$ हैं।

द्विसंघ त्रिभुज के परिमापीय व्यास के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें यह मिलता है: $$R = \frac{1}{4} \sqrt{4(5)^2 - (3)^2}$$ $$R = \frac{1}{4} \sqrt{100 - 9}$$ $$R = \frac{1}{4} \sqrt{91}$$ $$R \approx 2.275$$

इसलिए, द्विसंघ त्रिभुज का परिमापीय व्यास लगभग $2.275$ होता है।

द्विसंघ त्रिभुज की सममिति

द्विसंघ त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें दो समान पक्ष होते हैं। दो समान पक्षों को त्रिभुज की टांगों कहा जाता है और तीसरा पक्ष निर्धारित किया जाता है। द्विसंघ त्रिभुज के आधार के कोण समान होते हैं, और शीर्षकोण पीछे के कोणों से अलग होता है।

सममिति की रेखाएँ

द्विसंघ त्रिभुज की एक सममिति रेखा होती है। यह सममिति रेखा त्रिभुज के शीर्षकोण और आधार के मध्य स्थान से होती है।

घुमाने वाली सममिति

एक द्विसंघ त्रिभुज में घुमाने वाली सममिति भी होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को अपने केंद्रबिन्दु के चारों ओर घुमाया जा सकता है ताकि यह पहले जितना ही दिखे। द्विसंघ त्रिभुज में 2-गुना घुमाने वाली सममिति होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को अपने केंद्रबिन्दु के चारों ओर 180 डिग्री घुमाया जा सकता है और यह वैसा ही दिखेगा।

प्रतिबिंब सममिति

द्विसंघ त्रिभुज में प्रतिबिंब सममिति भी होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को एक रेखा के माध्यम से प्रतिबिंबित किया जा सकता है ताकि यह पहले जितना ही दिखे। द्विसंघ त्रिभुज में 1-गुना प्रतिबिंब सममिति होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को अपनी सममिति रेखा के माध्यम से प्रतिबिंबित किया जा सकता है और यह वैसा ही दिखेगा।

सारांश

द्विसंघ त्रिभुज में निम्नलिखित सममितियाँ होती हैं:

• एक सममिति रेखा
• 2-गुना घुमाने वाली सममिति
• 1-गुना प्रतिबिंब सममिति

द्विसंघ त्रिभुज: हल की उदाहरण

उदाहरण 1: द्विसंघ त्रिभुज के आधार के कोण ढूंढना

5 सेमी और 8 सेमी लंबित दो समान पक्षों वाले द्विसंघ त्रिभुज को दिया गया है, प्रत्येक आधार के कोणों का माप ढूंढें।

हल:

चलो द्विसंघ त्रिभुज के आधार के कोणों को $x$ के रूप में चिह्नित करें। क्योंकि एक त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है, हम इस समीकरण को लिख सकते हैं:

$$2x + 80 = 180$$

दोनों पक्षों से 80 को घटा करने पर, हमें मिलता है:

$$2x = 100$$

दोनों पक्षों से 1/2 को भाग करने पर, हमें मिलता है:

$$x = 50$$

इसलिए, द्विसंघ त्रिभुज के प्रत्येक आधार का कोण 50 डिग्री होता है।

उदाहरण 2: द्विसंघ त्रिभुज का क्षेत्रफल ढूंढना

10 सेमी के दो समान पक्षों और 12 सेमी के आधार वाले द्विसंघ त्रिभुज का क्षेत्रफल ढूंढें।

हल:

द्विसंघ त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र का उपयोग करके निर्णय कि जा सकती है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊचाई$$

इस मामले में, आधार 12 सेमी है, और हमें ऊचाई खोजनी है। हम ऊचाई निकालने के लिए पाइथागोरस के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$h^2 = 10^2 - 6^2$$

$$h^2 = 100 - 36$$

$$h^2 = 64$$

$$h = \sqrt{64}$$

$$h = 8$$

इस त्रिभुज की ऊचाई 8 सेमी है। इस मान को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times 12 \times 8$$

$$क्षेत्रफल = 48$$

इसलिए, इसोसेलेस त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेंटीमीटर होता है।

उदाहरण 3: इसोसेलेस त्रिभुज का परिमाप ढूंढें

एक इसोसेलेस त्रिभुज के दो समान ओरों की लंबाई 7 सेंटीमीटर और आधार की लंबाई 10 सेंटीमीटर होती है। त्रिभुज का परिमाप ढूंढें।

समाधान:

त्रिभुज का परिमाप तीनों ओरों की लंबाइयों की योग होता है। इस मामले में, हमारे पास हैं:

$$परिमाप = 7 + 7 + 10$$

$$परिमाप = 24$$

इसलिए, इसोसेलेस त्रिभुज का परिमाप 24 सेंटीमीटर होता है।

इसोसेलेस त्रिभुज पूछे जाने वाले प्रश्न

इसोसेलेस त्रिभुज क्या होता है?

इसोसेलेस त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें दो समान ओर होती हैं। इसोसेलेस त्रिभुज की दो समान ओरों को त्रिभुज के किनारों की तरह जाना जाता है, और तिसरी ओर को आधार कहा जाता है।

इसोसेलेस त्रिभुज की गुणधर्म क्या होती हैं?

इसोसेलेस त्रिभुज की निम्नलिखित गुणधर्म होती हैं:

• एक इसोसेलेस त्रिभुज के आधार के कोण बराबर होते हैं।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज के आधार के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज का शिखर कोण आधार के कोणों के योग से 180 डिग्री बराबर होता है।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज के आधार की ऊंचाई आधार को और शिखर कोण को द्विभाजित करती है।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज के ओरों के मध्यबिंदु के लंबितक बराबर होते हैं।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज के परिककेंद्र आधार की मध्यतर संकेतक होता है।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज के आन्तरिक कोण द्विभाजित के समांतर बिंदु होते हैं।
• एक इसोसेलेस त्रिभुज के ऊँचाई केन्द्र ऊंचाई के समांतर बिंदु पर स्थित होता है।

इसोसेलेस त्रिभुज के कुछ उदाहरण क्या हैं?

इसोसेलेस त्रिभुज के कुछ उदाहरण निम्नलिखित होते हैं:

• एक समकोण त्रिभुज एक इसोसेलेस त्रिभुज होता है जिसमें दो समान ओर होती हैं और एक अलग ओर होती है।
• एक समत्रिभुज त्रिभुज एक इसोसेलेस त्रिभुज होता है जिसमें तीनों ओर समान लंबाई की होती है।
• एक 45-45-90 त्रिभुज एक इसोसेलेस त्रिभुज होता है जिसमें दो समान ओर 45 लंबाई की होती है और एक ओर 90 लंबाई की होती है।

इसोसेलेस त्रिभुज के अनुप्रयोग क्या हैं?

इसोसेलेस त्रिभुज का विविधतापूर्ण और महत्वपूर्ण रूप से उपयोग होता है, जिसमें निम्नलिखित शामिल होता है:

• वास्तुकला: इसोसेलेस त्रिभुज का उपयोग छतों, पुलों और अन्य संरचनाओं के डिज़ाइन में किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: इसोसेलेस त्रिभुज का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य यंत्रों के डिज़ाइन में किया जाता है।
• गणित: इसोसेलेस त्रिभुज का उपयोग ज्यामिति और त्रिकोणमिति के अध्ययन में किया जाता है।
• कला: इसोसेलेस त्रिभुज का उपयोग चित्रकला, आभूषण, और अन्य कला के निर्माण में किया जाता है।

निष्कर्ष

इसोसेलेस त्रिभुज एक परिवर्तनशील और महत्वपूर्ण ज्यामिति आकार है जिसके विभिन्न गुणधर्म और अनुप्रयोग होते हैं।