Maths Inverse Laplace Transform
इनवर्स लापलेस परिवर्तन
इनवर्स लापलेस परिवर्तन एक गणितीय आपरेशन है जो हमें लापलेस परिवर्तन $F(s)$ से मूलभूत फ़ंक्शन $f(t)$ का पता लगाने की अनुमति देता है। यह $\mathcal{L}^{-1}$ द्वारा निर्देशित किया जाता है और निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:
$$\mathcal{L}^{-1}{F(s)} = f(t)$$
यहां $s$ लापलेस डोमेन में एक संयुक्त संख्यात्मक चर है और $t$ समय डोमेन में एक वास्तविक चर है।
इनवर्स लापलेस परिवर्तन का खोजने के लिए विधियाँ
लापलेस परिवर्तन का खोजने के कई विधियाँ हैं, जिनमें निम्नलिखित शामिल हैं:
- लापलेस परिवर्तन तालिका का उपयोग करना: यह एक तालिका है जो कई सामान्य फ़ंक्शनों के लापलेस परिवर्तन की सूची बनाता है। यदि दिया गया $F(s)$ तालिका में है, तो हम आसानी से संबंधित $f(t)$ को देख सकते हैं।
- आंशिक भिन्न विघटन का उपयोग करना: यह विधि $F(s)$ को एक सरल भिन्नों के योग के रूप में अलग करने का समर्थन करती है, जिनमें से प्रत्येक भिन्न लापलेस परिवर्तन तालिका का उपयोग करके आसानी से उलटा किया जा सकता है।
- इनवर्स लापलेस परिवर्तन सूत्र का उपयोग करना: इस सूत्र द्वारा दिया गया है:
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) ds$$
यहां $\gamma$ $F(s)$ के सभी अद्वितीयताओं से अधिक मान वाली एक वास्तविक संख्या है। यह सूत्र कंटर ढाल समाधान का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है।
इनवर्स लापलेस परिवर्तन के अनुप्रयोग
इनवर्स लापलेस परिवर्तन का विभिन्न अनुप्रयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, और अन्य क्षेत्रों में होते हैं। कुछ उदाहरण शामिल हैं:
- अवकलनीय समीकरणों का हल करना
- विद्युत परिपथों का विश्लेषण करना
- ऊष्मा गतिशीलता का अध्ययन करना
- मेकेनिकल प्रणालियों के मॉडलिंग करना
निष्कर्ष
इनवर्स लापलेस परिवर्तन एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण है जो हमें लापलेस परिवर्तन से मूलभूत फ़ंक्शन का पता लगाने की अनुमति देता है। यह इंजीनियरिंग, भौतिकी, और अन्य क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग देता है।
लापलेस परिवर्तन और इनवर्स लापलेस परिवर्तन के बीच अंतर
लापलेस परिवर्तन
लापलेस परिवर्तन एक ऐंशिक परिवर्तन है जो समय की एक फ़ंक्शन को एक संयुक्त चर चर की एक फ़ंक्शन में परिवर्तित करता है। इसका उपयोग अवकलनीय समीकरणों का हल करने और प्रणालियों की स्थिरता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
एक फ़ंक्शन $f(t)$ का लापलेस परिवर्तन इस प्रकार परिभाषित होता है:
$$F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$
यहां $s$ संयुक्त चर है।
इनवर्स लापलेस परिवर्तन
इनवर्स लापलेस परिवर्तन लापलेस परिवर्तन का उलट होता है। यह एक संयुक्त चर चर की एक फ़ंक्शन को समय की एक फ़ंक्शन में परिवर्तित करता है।
एक फ़ंक्शन $F(s)$ का इनवर्स लापलेस परिवर्तन इस प्रकार परिभाषित होता है:
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma e^{st} F(s) ds$$
यहां $\gamma$ $F(s)$ के सभी अद्वितीयताओं को घेरने वाले एक कक्षा है।
मुख्य अंतर
लापलेस परिवर्तन और इनवर्स लापलेस परिवर्तन के मुख्य अंतर हैं:
-
लापलेस परिवर्तन समय की एक फ़ंक्शन को संयुक्त चर चर में परिवर्तित करता है, जबकि इनवर्स लापलेस परिवर्तन एक संयुक्त चर चर को समय की एक फ़ंक्शन में परिवर्तित करता है।
-
लापलेस बदलाव,
सामग्री: प्रारंभिक मान सिद्धांत
प्रारंभिक मान सिद्धांत कहता है कि $t = 0^+$ पर एक फ़ंक्शन का मान $sF(s)$ की सीमा के बराबर होता है जब $s$ अनंत के पास आता है। अर्थात,
$$f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$$
व्युत्क्रमित लैपलेस परिवर्तन सारणी
व्युत्क्रमित लैपलेस परिवर्तन एक गणितीय प्रक्रिया है जो फ़ंक्शन को आवृत्ति डोमेन (एस-डोमेन) में से समय डोमेन (टी-डोमेन) में बदलता है। यह लैपलेस परिवर्तन का उल्टा है।
व्युत्क्रमित लैपलेस परिवर्तन का उपयोग विभिन्नित विधिमानी डिफ़रेंशियल समीकरणों को हल करने, विद्युत मार्गों का विश्लेषण करने, और लंबित विधिमानी डिफ़रेंशियल समीकरणों द्वारा वर्णित अन्य प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
निम्नलिखित सारणी एक सामान्य लैपलेस परिवर्तन जोड़ों की सूची प्रदान करती है, जिसका उपयोग फ़ंक्शन के व्युत्क्रमित लैपलेस परिवर्तन को खोजने के लिए किया जा सकता है।
| लैपलेस परिवर्तन | व्युत्क्रमित लैपलेस परिवर्तन |
|---|---|
| $$\frac{1}{s}$$ | $$1$$ |
| $$\frac{1}{s^2}$$ | $$t$$ |
| $$\frac{1}{s^3}$$ | $$\frac{t^2}{2!}$$ |
| $$\frac{1}{s^n}$$ | $$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$$ |
| ….. | |
| ….. | |
| $$f(t) = \int_0^\infty e^{st} \frac{1}{s+2} ds$$ |
हम आवश्यकता के अनुसार किसी भी फ़ंक्शन को Laplace डोमेन से उसके मूल फ़ंक्शन में बदलने के लिए इंवर्स Laplace ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करते हैं। यह लपलेस ट्रांसफ़ॉर्म का उल्टा होता है, जो एक फ़ंक्शन को समय डोमेन में उसकी लपलेस डोमेन प्रतिनिधि में बदलता है।
इंवर्स लपलेस ट्रांसफ़ॉर्म इंजीनियरिंग, भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में विभिन्न समस्याओं का हल करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जा सकता है:
- एक दिए गए इनपुट के लिए सिस्टम की समय-डोमेन प्रतिक्रिया ढूंढें
- अवकलनीय समीकरणों को हल करें
- एक सिस्टम की स्थिरता का विश्लेषण करें
- एक दिए गए अधिकांश परिपूर्ण समीकरण के लिए ग्रीन कार्य का पता लगाएं
किसी फ़ंक्शन का इंवर्स लपलेस ट्रांसफ़ॉर्म ढूंढने के लिए कई तरीके हैं। कुछ सबसे सामान्य तरीकों में शामिल हैं:
- लपलेस ट्रांसफ़ॉर्म सारणी का उपयोग करें
- संयोग मसौदे का उपयोग करें
- आंशिक भिन्न प्रविण्यांश विभाजन विधि का उपयोग करें
शक्ति श्रृंगार विस्तार विधि का उपयोग करके
चेंटरी लैपलेस परिवर्तन ढ़ूंढने में कुछ सामान्य खतरे क्या हैं?
कुछ सामान्य खतरों में से कुछ ऐसे हैं जो चेंटरी लैपलेस परिवर्तन को खोजने में हो सकते हैं। कुछ सबसे सामान्य खतरों में शामिल हैं:
- सही लैपलेस परिवर्तन तालिका का उपयोग न करना
- सही अवरोहण सिद्धांत का सही उपयोग नहीं करना
- सही अंश भिन्नन विधि का उपयोग नहीं करना
- सही श्रृंगार विस्तार विधि का उपयोग नहीं करना
मैं चेंटरी लैपलेस परिवर्तन के बारे में और कहाँ सीख सकता हूँ?
चेंटरी लैपलेस परिवर्तन के बारे में और ज्ञान प्राप्त करने के लिए कई साधन उपलब्ध हैं। कुछ सबसे मददगार संसाधनों में शामिल हैं:
- मर्रे R. स्पिगल द्वारा लैपलेस परिवर्तन और उनके अनुप्रयोग
- एरविन क्रैजीज़ीग द्वारा उन्नत इंजीनियरी गणित
- के एफ. रायली और एम. पी. हॉबसन द्वारा भौतिकी और इंजीनियरिंग के गणितीय विधियाँ
सारांश
चेंटरी लैपलेस परिवर्तन एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण है, जिसका उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में विभिन्न समस्याओं का हल करने के लिए किया जा सकता है। चेंटरी लैपलेस परिवर्तन की मूल बातें समझकर, आप उसे उस समस्या का समाधान करने के लिए इस्तेमाल कर सकते हैं जो अन्यथा कठिन या असंभव हो सकता है।
