क्या एक त्रिभुज का इनसेंटर क्या होता है?

त्रिभुज का इनसेंटर त्रिभुज के आंतरिक कोण के दोहरान के त्रिकोण की समवांत की संगति का समांक है। यह वह वहां है जहां त्रिभुज के भीतर बने वृत्त का केंद्र होता है, जो त्रिभुज के भीतर खींची जा सकती है और त्रिभुज के तीनों सिरों के संरक्षणस्थलों को छूते हुए स्पर्श करता है।

इनसेंटर की गुणधर्म

त्रिभुज का इनसेंटर कई रोचक गुणधर्मों वाला होता है। कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्मों की सूची नीचे दी गई है:

• इनसेंटर त्रिभुज के तीनों सिरों से समान दूरी पर होता है।
• इनसेंटर वृत्त का केंद्र होता है।
• इनसेंटर आंतरिक कोण द्वारा बिखरण के समांत का समांक होता है।
• इनसेंटर वह बिंदु होता है जहां त्रिभुज के त्रिज्येद्र त्रिभुज के शीर्षों को जोड़ते हैं जो समावस्थित वृत्त के संरक्षण स्थलों के साथ संगत होते हैं।
• इनसेंटर वह बिंदु होता है जहां त्रिभुज के सिरों के लंबकोण लंबाकर वृत्त के संरक्षण स्थलों पर लंब होने वाली तीन रेखाएं संगत होती हैं।
• इनसेंटर वह बिंदु होता है जहां त्रिभुज के सिरों के बीच कोणों को और त्रिभुज के त्रिज्येद्रों की स्पर्श रेखाओं को संविभाजित करती हैं।

इनसेंटर के अनुप्रयोग

त्रिभुज का इनसेंटर ज्यामिति में कई अनुप्रयोगों का होता है। कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों की सूची नीचे दी गई है:

• इनसेंटर वृत्त की त्रिज्या ढूंढने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• इनसेंटर त्रिभुज के क्षेत्रफल की जांच के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• इनसेंटर त्रिभुज के उपकेंद्र की जांच के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• इनसेंटर त्रिभुज के द्विवात् के निर्धारण के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• इनसेंटर त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त की खोज के लिए उपयोग किया जा सकता है।

त्रिभुज का इनसेंटर एक बहुत महत्वपूर्ण बिंदु है। इसके गुणधर्मों और ज्यामिति में उपयोग हैं बहुत रोचक।

एक त्रिभुज के इनसेंटर को कैसे गणना करें?

त्रिभुज का इनसेंटर आंतरिक कोण विभाजकों की संगति का समांक होता है। यह त्रिभुज के भीतर बने वृत्त का केंद्र होता है, जो त्रिभुज के किसी भी सिर को काटते बिना भीतर खींचा जा सकता है।

इनसेंटर की गणना

त्रिभुज का इनसेंटर गणना के लिए, आप निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. त्रिभुज के आंतरिक कोण विभाजकों को खींचें।
2. कोण विभाजकों की संगति का संक्लेस्थान ढूंढें। यह इनसेंटर होता है।

आप इनसेंटर की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग भी कर सकते हैं:

$$I = \frac{a\overrightarrow{B} + b\overrightarrow{C} + c\overrightarrow{A}}{a + b + c}$$

यहां:

• I इनसेंटर है
• a, b और c त्रिभुज की तिरों की लंबाई हैं
• A, B और C त्रिभुज के शीर्ष हैं

उदाहरण

चलो त्रिभुज का इनसेंटर ज्यामिति के साथ बाहों की लंबाई 3, 4 और 5 होने वाले एक त्रिभुज की गणना करें।

1. त्रिभुज के आंतरिक कोण विभाजक खींचें।

[त्रिभुज की एक छवि जिसमें आंतरिक कोण विभाजक खींची गई हैं]

2. कोण विभाजकों की संगति का संकलेस्थान ढूंढें। यह इनसेंटर होता है।

[त्रिभुज की एक छवि जिसमें आंतरिक कोण विभाजक खींची गई हैं और इनसेंटर चिह्नित होता है]

3. अंतःशंकु की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें।

$$I = \frac{3\overrightarrow{B} + 4\overrightarrow{C} + 5\overrightarrow{A}}{3 + 4 + 5}$$

$$I = \frac{3(4\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}) + 4(5\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}) + 5(3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j})}{12}$$

$$I = \frac{12\overrightarrow{i} + 15\overrightarrow{j} + 20\overrightarrow{i} - 12\overrightarrow{j} + 15\overrightarrow{i} + 20\overrightarrow{j}}{12}$$

$$I = \frac{47\overrightarrow{i} + 23\overrightarrow{j}}{12}$$

$$I = \frac{47}{12}\overrightarrow{i} + \frac{23}{12}\overrightarrow{j}$$

इसलिए, त्रिभुज का अंतःशंकु $$\left(\frac{47}{12}, \frac{23}{12}\right)$$ है।

त्रिभुज का अंतःशंकु पूछे जाने वाले प्रश्न

त्रिभुज का अंतःशंकु क्या होता है?

त्रिभुज का अंतःशंकु वह बिंदु होता है जहां त्रिभुज के आंतरिक कोणों के बीचविभाजक आपस में मिलते हैं। यह त्रिभुज के आंतर्वृत्त का केंद्र भी होता है, जो त्रिभुज में सबसे बड़ा वृत्त होता है जो अंदर बसा होता है।

त्रिभुज का अंतःशंकु कैसे पता करें?

त्रिभुज के अंतःशंकु को पता करने के लिए कई तरीके हैं। एक तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना है:

$$I = \frac{1}{2s}(a\overrightarrow{A} + b\overrightarrow{B} + c\overrightarrow{C})$$

यहां $I$ अंतःशंकु है, $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है, $a$,$b$ और $c$ त्रिभुज की पक्षों की लंबाई है और $\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}$ और $\overrightarrow{C}$ त्रिभुज के शीर्षों के स्थानिक वेक्टर हैं।

त्रिभुज के अंतःशंकु को पता करने का एक और तरीका त्रिभुज के आंतरिक कोणों के बीचविभाजक बनाना है। अंतःशंकु वह बिंदु होता है जहां ये कोण आपस में कटते हैं।

त्रिभुज के अंतःशंकु की गुणधर्म क्या हैं?

त्रिभुज के अंतःशंकु के कुछ रोचक गुणधर्म होते हैं। कुछ इनमें सम्मिलित हैं:

• त्रिभुज के अंतःशंकु त्रिभुज के तीन पक्षों से समान दूर होता है।
• त्रिभुज के अंतःशंकु त्रिभुज के आंतर्वृत्त केंद्र होता है।
• त्रिभुज के अंतःशंकु त्रिभुज के आंतरिक कोणों के तीनों बीचविभाजकों के समांतर्क बिंदु होते हैं।
• त्रिभुज के अंतःशंकु त्रिभुज के शीर्षों को त्रिभुज के विपरीत पक्षों की आंतरिक आंशविका के संपर्क बिंदुओं से जोड़ने वाले तीनों सेवियां का बिंदु साधर्मिक होता है।
• त्रिभुज के अंतःशंकु त्रिभुज की तीन सिम्सन रेखाओं का एकांत बिंदु होता है।

त्रिभुज के अंतःशंकु के कुछ अनुप्रयोग हैं?

त्रिभुज के अंतःशंकु का कई ज्यामिति में अनुप्रयोग हैं। कुछ इनमें सेम्प्रयोगिक हैं:

• त्रिभुज के आंतर्वृत्त के त्रिज्या का निर्धारण करना।
• एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का निर्धारण करना।
• त्रिभुज के आंतरिक कोणों को बनाना।
• एक त्रिभुज के आंतर्वृत्त को बनाना।
• त्रिभुज के पक्षों के संपर्क बिंदुओं को खोजना।
• एक त्रिभुज के सिम्सन रेखाएं खोजना।

निष्कर्ष

त्रिभुज के अंतःशंकु एक बिंदु होता है जिसके कई रोचक गुणधर्म और अनुप्रयोग होते हैं। यह ज्यामिति के अध्ययन के समय जानने योग्य बिंदु होता है।