दो अंकों का हाईसीएफ (HCF)

दो या अधिक अंकों का सबसे ऊचा सामान्य गुणधारी (HCF) वह सर्वाधिक सकारात्मक पूर्णांक है जो प्रत्येक अंक को बिना शेष छोड़े भाग करता है। इसे परम सामान्य विभाजनक (GCD) के रूप में भी जाना जाता है।

HCF की खोज

दो अंकों का हाईसीएफ ढूँढने के लिए कई तरीके हैं। एक साधारित तरीका है यूक्लिडीयन एल्गोरिदम, जिसमें बड़े अंक को छोटे अंक से बार-बार भाग दिया जाता है और शेष लिया जाता है। अंतिम ग़ैर-शून्य शेष हाईसीएफ होता है।

उदाहरण के लिए, 12 और 18 का हाईसीएफ ढूँढने के लिए, हम उक्लिडियन एल्गोरिदम का प्रयोग कर सकते हैं:

1. 18 को 12 से विभाजित करें: 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 को 6 से विभाजित करें: 12 ÷ 6 = 2 शेष 0

अंतिम ग़ैर-शून्य शेष 6 है, इसलिए 12 और 18 का हाईसीएफ 6 है।

HCF की गुणधर्में

दो अंकों का हाईसीएफ कई महत्वपूर्ण गुणधर्मों के साथ होता है, जिनमें शामिल हैं:

• दो अंकों का हाईसीएफ हमेशा एक सकारात्मक पूर्णांक होता है।
• दो अंकों का हाईसीएफ दोनों अंकों के विभाजक होता है।
• दो अंकों का हाईसीएफ अद्वितीय होता है।
• दो अंकों का हाईसीएफ उनके सामान्य प्रधान अवधियों का उत्पाद होता है।

HCF के अनुप्रयोग

दो अंकों का हाईसीएफ कई अनुप्रयोगों के साथ होता है, जिनमें शामिल हैं:

• भिन्नों को साधारित करना: एक भिन्न के लवणिक और लवंटन का हाईसीएफ इस्तेमाल किया जा सकता है।
• सबसे लघु समानों का पता लगाना (LCM): दो अंकों का सबसे छोटा सकारात्मक पूर्णांक, जो दोनों अंकों से विभाज्य होता है, हाईसीएफ को उनके उत्पाद से गुणा करके पता लगाया जा सकता है।
• डायफेंटाइनींग समीकरणों को हल करना: डायफेंटाइनींग समीकरणें ऐसे समीकरण हैं जिनके गणितीय समाधान होते हैं। एक डायफेंटाइनींग समीकरण के संकेतकों का हाईसीएफ इसके समाधान का पता लगाने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

निष्कर्ष

दो अंकों का हाईसीएफ गणितीय संख्या सिद्धांत में एक मूलभूत अवधारणा है जिसके कई अनुप्रयोग हैं। इसे यूक्लिडीयन एल्गोरिदम का प्रयोग करके पाया जा सकता है और इसके कई महत्वपूर्ण गुणधर्म हैं।

दो अंकों का हाईसीएफ ढूँढने के लिए तरीके

दो या अधिक अंकों का सबसे ऊचा सामान्य गुणधारी (HCF) ऐसा सकारात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों अंकों को शेष छोड़े विभाजित करता है। दो अंकों का हाईसीएफ ढूँढने के लिए कई तरीके हैं। यहां दो सामान्य तरीके हैं:

1. प्रधान गुणकरण तरीका

इस तरीके में, दोनों अंकों के प्रधान गुणकार का पता लगाया जाता है और फिर सामान्य प्रधान गुणकार को पहचाना जाता है। इन सामान्य प्रधान गुणकारों का उत्पाद हाईसीएफ होता है।

चरण:

1. प्रत्येक अंक के प्रधान गुणकरण लिखें।
2. सामान्य प्रधान गुणकारों को पहचानें।
3. हाईसीएफ ढूँढने के लिए सामान्य प्रधान गुणकारों को गुणा करें।

उदाहरण:

12 और 18 का हाईसीएफ ढूँढें।

समाधान:

1. 12 का प्रधान गुणकारण: 2 x 2 x 3
2. 18 का प्रधान गुणकारण: 2 x 3 x 3
3. सामान्य प्रधान गुणकार: 2 और 3
4. 12 और 18 का हाईसीएफ = 2 x 3 = 6

2. यूक्लिडीयन एल्गोरिदम

यूक्लिडियन एल्गोरिदम दो नंबरों का HCF ढूंढने के लिए एक अधिक अभिन्न विधि है। इसमें, बड़े नंबर को छोटे नंबर से बार-बार भाग किया जाता है और शेषफल लिया जाता है। अंतिम गैर-शून्य शेषफल दो नंबरों का HCF होता है।

कदम:

1. बड़े नंबर को छोटे नंबर से भाग करें और शेषफल पाएं।
2. पिछले भाजिक और शेषफल के साथ पहले कदाचित्ताकरण को दोहराएँ जब तक शेषफल 0 नहीं हो जाता है।
3. अंतिम गैर-शून्य शेषफल HCF होता है।

उदाहरण:

Euclidean एल्गोरिदम का उपयोग करके 12 और 18 का HCF ढूंढें।

समाधान:

1. 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 ÷ 6 = 2 शेष 0
3. अंतिम गैर-शून्य शेषफल 6 है।
4. इसलिए, 12 और 18 का HCF 6 है।

Euclidean एल्गोरिदम विशेष रूप से बड़े नंबरों के साथ काम करता है, क्योंकि इसे नंबरों के प्रधान अंश ढूंढने की आवश्यकता नहीं होती है।

दो नंबरों का HCF विशेष मामला:

दो नंबरों का उच्चतम सामान्य अभिधान (HCF) ऐसा सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों नंबरों को कोई शेष बिना बांटे हैं। अन्य शब्दों में, यह वह सबसे बड़ा संख्या होती है जो दोनों नंबरों का अभिधान है।

विशेष मामला: एक नंबर शून्य है

यदि दोनों नंबरों में से एक नंबर शून्य है, तो HCF दूसरा नंबर होता है। इसका मतलब है कि शून्य से विभाज्य कोई भी संख्या परिधायक नहीं होती है, इसलिए शून्य और किसी अन्य संख्या को दोनों नंबरों का अभिधान होने वाली केवल संख्या खुद होती है।

उदाहरण के रूप में, 12 और 0 का HCF 12 है, और 0 और -7 का HCF -7 है।

प्रमाण

हम दो नंबरों, $a$ और $b$ को विचार करें, जहां $a$ शून्य के बराबर नहीं है। हम $b$ को $a$ के एक गुणांक के रूप में, साथ ही कोई शेष छोड़ कर संख्या के रूप में लिख सकते हैं:

$$b = aq + r$$

यहां $q$ विभाजक है और $r$ शेष है।

यदि $r$ शून्य के बराबर है, तो $b$ $a$ से विभाज्य है, और $a$ $a$ और $b$ का HCF होता है।

यदि $r$ शून्य के बराबर नहीं है, तो हम $a$ और $r$ के साथ पुनः प्रक्रिया दोहरा सकते हैं। हम $a$ को $r$ के एक गुणांक के रूप में, साथ ही कोई शेष छोड़ कर संख्या के रूप में लिख सकते हैं:

$$a = rq’ + r’$$

यहां $q’$ विभाजक है और $r’$ शेष है।

यदि $r’$ शून्य के बराबर है, तो $r$ $a$ और $b$ का HCF होता है।

यदि $r’$ शून्य के बराबर नहीं है, तो हम पुनः प्रक्रिया दोहराएं। हम अंतिम रूप में कहां पहुंच जाएंगे जहां शेष शून्य होगा, और अंतिम गैर-शून्य शेष उसी समय $a$ और $b$ का HCF होगा।

उदाहरण

हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके 12 और 18 का HCF ढूंढ़ते हैं।

$$18 = 12 \cdot 1 + 6$$

$$12 = 6 \cdot 2 + 0$$

अंतिम गैर-शून्य शेष 6 है, इसलिए 12 और 18 का HCF 6 है।

दो नंबरों का HCF हल किए गए उदाहरण

दो या अधिक नंबरों का उच्चतम सामान्य अभिधान (HCF) वह सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक होता है जो प्रत्येक संख्या को शेष छोड़े बिना बाँटता है।

उदाहरण 1: 12 और 18 का HCF खोजना

12 और 18 का HCF खोजने के लिए, हम निम्नलिखित कदम का उपयोग कर सकते हैं:

1. प्रत्येक संख्या के अभिधानों की सूची दें।

   12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

2. दोनों नंबरों के सामान्य अभिधानों की पहचान करें।

12 और 18 के सामान्य अभिधान 1, 2, 3 और 6 हैं।

3. 12 और 18 का HCF सबसे बड़ा सामान्य अभिधान है, जो 6 है।

उदाहरण 2: 24, 36 और 48 का एचसीएफ ढूंढना

24, 36 और 48 का एचसीएफ ढूंढने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. प्रत्येक संख्या के गुणकों की सूची बनाएं।

   24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

2. तीनों संख्याओं के सामान्य गुणकों की पहचान करें।

24, 36 और 48 के सामान्य गुणक 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं।

3. 24, 36 और 48 का एचसीएफ सबसे बड़ा सामान्य गुणक है, जो 12 है।

उदाहरण 3: 100 और 120 का एचसीएफ ढूंढना

100 और 120 का एचसीएफ ढूंढने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. प्रत्येक संख्या के गुणकों की सूची बनाएं।

   100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

2. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणकों की पहचान करें।

100 और 120 के सामान्य गुणक 1, 2, 4, 5, 10 और 20 हैं।

3. 100 और 120 का एचसीएफ सबसे बड़ा सामान्य गुणक है, जो 20 है।

निष्कर्ष

दो या उससे अधिक संख्याओं का एचसीएफ प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक संख्या के गुणकों की सूची बनाएं, सामान्य गुणकों की पहचान करें, और फिर सबसे बड़े सामान्य गुणक का चयन करें।

दो संख्याओं का एचसीएफ पूछे जाने वाले प्रश्न

दो संख्याओं का एचसीएफ क्या होता है?

दो संख्याओं का एचसीएफ (सर्वोच्च सामान्य गुणक) होता है जो दोनों संख्याओं को बिना शेष दिए बिना विभाजित करता है।

दो संख्याओं का एचसीएफ ढूंढने के लिए कैसे करें?

दो संख्याओं का एचसीएफ ढूंढने के लिए कई तरीके होते हैं। कुछ सामान्य तरीके शामिल होते हैं:

• मूलघुलन विधि: इस विधि में, दोनों संख्याओं को उनके मूलघटकों के गुणक के रूप में व्यक्त किया जाता है और फिर सामान्य मूलघटकों को पहचाना जाता है। इन सामान्य मूलघटकों के गुणक का गुणनफल एचसीएफ होता है।

• यूक्लिडीयन एल्गोरिदम: यह दो संख्याओं के एचसीएफ को ढूंढने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है। इसमें, बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बारंबार विभाजित किया जाता है और शेष को लिया जाता है। अंतिम गैर-शून्य शेष एचसीएफ होता है।

दो संख्याओं के संख्यात्मक युग्म हेतु एचसीएफ क्या होता है?

दो संख्याएं एक-दूसरे के संख्यात्मक युग्म (या अन्यथा प्राइम) कहलाती हैं यदि उनके अलावा कोई सामान्य गुणक न हो। दो संख्याओं का एचसीएफ 1 होता है।

दो संख्याओं के संचरणीय संख्यात्मक हेतु एचसीएफ क्या होता है?

दो संख्याओं के संचरणीय संख्यात्मक हेतु एचसीएफ 1 होता है।

एक संख्या और 0 के हेतु एचसीएफ क्या होता है?

एक संख्या और 0 का एचसीएफ संख्या खुद होता है।

एक संख्या और 1 के हेतु एचसीएफ क्या होता है?

एक संख्या और 1 का एचसीएफ 1 होता है।

एक संख्या और वही संख्या के हेतु एचसीएफ क्या होता है?

एक संख्या और वही संख्या का एचसीएफ संख्या खुद होती है।

दो नकारात्मक संख्याओं के हेतु एचसीएफ क्या होता है?

दो नकारात्मक संख्याओं का एचसीएफ उनके अपर्याप्त मान का सकारात्मक मान होता है।

दो भिन्नों के हेतु एचसीएफ क्या होता है?

दो भिन्नों के हेतु एचसीएफ खोजने के लिए, पहले उन्हें अनुचित भिन्न में बदलें। फिर, आंशिक और नामांकनक दोनों का एचसीएफ ढूंढें। आंशिक एचसीएफ का आंश एचसीएफ का आंशिक होता है, और नामांकनक एचसीएफ का नामांकक होता है।

तीन या उससे अधिक संख्याओं का एचसीएफ क्या होता है?

To find the HCF of three or more numbers, first find the HCF of two numbers. Then, find the HCF of the result and the third number. Repeat this process until all numbers are considered. The final result is the HCF of all the given numbers.