सबसे बड़ा साधारण विभाजक (GCD)

दो या अधिक पूर्णांकों का सबसे बड़ा साधारण विभाजक (GCD) होता है जो प्रत्येक पूर्णांक को बिना किसी शेष के विभाजित करता है। इसे उच्चतम साधारण संख्या भी कहा जाता है (HCF)।

GCD का पता लगाना

दो या अधिक पूर्णांकों का GCD पता लगाने के लिए कई तरीके हैं। एक सामान्य तरीका है यूक्लिडीयन एल्गोरिदम, जो निम्नलिखित रूप में काम करता है:

1. बड़े पूर्णांक को छोटे पूर्णांक से विभाजित करें।
2. शेष और पिछले भागकर्ता द्वारा उसे विभाजित करें।
3. 1 और 2 कदमों को दोहराएँ जब तक शेष 0 न हो जाए।
4. अंतिम गैर-शून्य शेष GCD होता है।

उदाहरण के लिए, 12 और 18 का GCD पता लगाने के लिए, हम निम्नलिखित कदमों का पालन करेंगे:

1. 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 ÷ 6 = 2 शेष 0

अंतिम गैर-शून्य शेष 6 है, इसलिए 12 और 18 का GCD 6 है।

GCD की गुणधर्म

GCD के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म हैं, जिनमें शामिल हैं:

• दो पूर्णांकों का GCD हमेशा एक सकारात्मक पूर्णांक होता है।
• दो पूर्णांकों का GCD उनके प्रामाणिक मानों के ग्राहक के रूप में है।
• दो पूर्णांकों का GCD उनके समान संख्या गुरुत्वाकारक का उत्पाद होता है।
• दो पूर्णांकों का GCD उनके कम सामान्य गुणक का विभाजक होता है (LCM)।

GCD के अनुप्रयोग

GCD का कई गणित और कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग होता है, जिनमें शामिल हैं:

• भंग करना सरल
• डायोफेंटिन समीकरणों को हल करना
• एक सेट के पूर्णांकों का सबसे बड़ा साधारण विभाजक ढूंढना
• एक सेट के पूर्णांकों का लघुत्तम समान गुणाकार की गणना करना
• यादृच्छिक संख्याओं को उत्पन्न करना

सबसे बड़ा साधारण विभाजक संख्या सिद्धांत में एक मौलिक अवधारणा है जिसका व्यापक अनुप्रयोग है। यह एक शक्तिशाली उपकरण है जो गणित और कंप्यूटर विज्ञान में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

सबसे बड़ा साधारण विभाजक ढूंढने के चरण

दो या अधिक पूर्णांकों का सबसे बड़ा साधारण विभाजक (GCD) होता है जो प्रत्येक पूर्णांक को बिना किसी शेष के विभाजित करता है। इसे उच्चतम साधारण संख्या भी कहा जाता है (HCF)।

दो या अधिक पूर्णांकों का GCD ढूंढने के लिए कई तरीके हैं। सबसे आम तरीका यूक्लिडीयन एल्गोरिदम है।

यूक्लिडीयन एल्गोरिदम

यूक्लिडीयन एल्गोरिदम दो पूर्णांकों का GCD ढूंढने के लिए एक सरल और कुशल तरीका है। यह निम्नलिखित सिद्धांत पर आधारित होता है:

यदि $a$ और $b$ दो सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो $a$ और $b$ का GCD $b$ और $a$ को $b$ से विभाजित करने पर शेष है।

अन्य शब्दों में, हम दो पूर्णांकों का GCD ढूंढ सकते हैं जो बड़े पूर्णांक को छोटे पूर्णांक से बार-बार विभाजित करके और शेष लेते हैं। अंतिम गैर-शून्य शेष GCD होता है।

यहां हैं दो पूर्णांकों का GCD ढूंढने के लिए यूक्लिडीयन एल्गोरिदम के चरण:

1. $a$ और $b$ दो पूर्णांक हों।
2. यदि $b = 0$ है, तो $a$ और $b$ का GCD $a$ होता है।
3. अन्यथा, $a$ को $b$ से विभाजित करने पर शेष $r$ होता है।
4. $a$ को $b$ से एवं $b$ को $r$ से प्रतिस्थापित करें।
5. $b = 0$ होने तक चरण 2 से 4 को दोहराएँ।
6. $b$ का अंतिम गैर-शून्य मान $a$ और $b$ का GCD होता है।

उदाहरण

चलो हम यूक्लिडीयन ऍल्गोरिदम का उपयोग करके 12 और 18 का ग्रेटैस्ट कॉमन डिवाइजर (जीसीडी) ढूंढें।

1. $a = 12$ और $b = 18$ लेट्स लेट (चले) करें।
2. क्योंकि $b \neq 0$ है, हम चरण 3 की ओर बढ़ते हैं।
3. 12 को 18 से विभाजित करने पर शेष 6 होता है।
4. $a$ को $b$ के साथ और $b$ को $r$ के साथ बदलें। इसलिए, $a = 18$ और $b = 6$ होता है।
5. 2 से 4 कदमों को दोहराएं।
6. अंतिम गैर-शून्य मान $b$ 6 होता है। इसलिए, 12 और 18 का ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर (जीसीडी) 6 होता है।

यूक्लिडीयन ऍल्गोरिदम दो या अधिक पूर्णांकों का जीसीडी ढूंढने के लिए एक सरल और कारकी मेथड होता है। इसका आधार यह है कि दो पूर्णांकों का जीसीडी उनका बड़ा पूर्णांक और छोटे पूर्णांक से विभाजने पर मिलने वाले शेष के जीसीडी से समान होता है। अगली मेथड्स हैं:

1. यूक्लिडीयन ऍल्गोरिदम:

यूक्लिडीयन ऍल्गोरिदम दो पूर्णांकों का जीसीडी खोजने के लिए एक कारकी मेथड होता है। इसका आधार यह है कि दो पूर्णांकों का जीसीडी उनका शेष होता है जब बड़ा पूर्णांक छोटे पूर्णांक से विभाजित होता है। इस ऍल्गोरिदम का कार्यक्रम इस प्रकार होता है:

• $a$ और $b$ दो पूर्णांक हैं, जिनका हम जीसीडी ढूंढना चाहते हैं।
• यदि $b = 0$ है, तो जीसीडी $a$ होता है।
• अन्यथा, जब $a$ को $b$ से विभाजित करें तो शेष $r$ होता है।
• $a$ को $b$ के साथ और $b$ को $r$ के साथ बदलें।
• चरण 2 और 3 को दोहराएँ जब तक $b = 0$ नहीं होता है।
• अंतिम गैर-शून्य मान $b$ दोनों $a$ और $b$ का जीसीडी होता है।

उदाहरण के रूप में, यूक्लिडीयन ऍल्गोरिदम का उपयोग करके 12 और 18 का जीसीडी ढूंढें:

• $18 = 12 \times 1 + 6$
• $12 = 6 \times 2 + 0$
• अंतिम गैर-शून्य शेष 6 है, इसलिए 12 और 18 का जीसीडी 6 होता है।

2. मुख्य अंशीकरण विधि:

मुख्य अंशीकरण विधि में हम दो पूर्णांकों को उनके मुख्य अंशों के गुणनखंड के रूप में व्यक्त करते हैं और फिर सामान्य मुख्य अंशों को पहचानते हैं। जीसीडी मुख्य अंशों का गुणनखंड होता है।

उदाहरण के रूप में, मुख्य अंशीकरण विधि का उपयोग करके 12 और 18 का जीसीडी ढूंढें:

• $12 = 2^2 \times 3$
• $18 = 2 \times 3^2$
• सामान्य मुख्य अंश 3 है, इसलिए 12 और 18 का जीसीडी 3 होता है।

3. बाइनरी जीसीडी ऍल्गोरिदम:

बाइनरी जीसीडी ऍल्गोरिदम दो पूर्णांकों का जीसीडी ढूंढने के लिए एक त्वरित और कारकी मेथड होता है। इसका आधार यह है कि दो पूर्णांकों का जीसीडी उनका एक रैखिक संयोजन हो सकता है। यह ऍल्गोरिदम पूर्णांकों को हर आधे करके और एक रैखिक संयोजन को अपडेट करके काम करता है जब तक पूर्णांकों में से एक 0 नहीं हो जाता है।

उदाहरण के रूप में, बाइनरी जीसीडी ऍल्गोरिदम का उपयोग करके 12 और 18 का जीसीडी ढूंढें:

• $12 = 2^2 \times 3$
• $18 = 2 \times 3^2$
• सामान्य मुख्य अंश 3 है, इसलिए 12 और 18 का जीसीडी 3 होता है।

लगभग शून्य बचें बिना, दो या अधिक पूर्णांकों को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक, दो या अधिक संख्याओं का सबसे महान साझा गुणक ढूंढने के लिए तीन आमतौर पर प्रयुक्त तरीकों में से एक हैं - यूक्लिडियन ऍल्गोरिदम, प्राइम फैक्टरिज़ेशन विधि, और बाइनरी GCD ऍल्गोरिदम. प्रत्येक तरीके की अपनी विशेषताएँ और एप्लीकेशन्स हैं जो विशेष परिस्थिति और शामिल होने वाले पूर्णांकों के आकार पर निर्भर करती हैं.

सबसे बड़े साझा गुणक के हल के उदाहरण

दो या अधिक पूर्णांकों के सबसे बड़े साझा गुणक (GCD) को प्रत्येक पूर्णांक के बिना शेष छोड़ते हुए सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक कहा जाता है.

उदाहरण 1: 12 और 18 का GCD ढूंढें.

हल:

1. 12 के अंशों की सूची बनाएं: 1, 2, 3, 4, 6, 12
2. 18 के अंशों की सूची बनाएं: 1, 2, 3, 6, 9, 18
3. 12 और 18 के साझे अंश 1, 2, 3, और 6 हैं.
4. 12 और 18 का सबसे बड़ा साझा गुणक 6 हैं.

उदाहरण 2: 24, 36, और 48 का GCD ढूंढें.

हल:

1. 24 के अंशों की सूची बनाएं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2. 36 के अंशों की सूची बनाएं: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. 48 के अंशों की सूची बनाएं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
4. 24, 36, और 48 के साझे अंश 1, 2, 3, 4, 6, और 12 हैं.
5. 24, 36, और 48 का सबसे बड़ा साझा गुणक 12 हैं.

उदाहरण 3: 1071 और 462 का GCD ढूंढें.

हल:

1. यूक्लिडियन ऍल्गोरिदम का उपयोग करें:

• 1071 को 462 से विभाजित करें: 1071 ÷ 462 = 2 शेष 147
• 462 को 147 से विभाजित करें: 462 ÷ 147 = 3 शेष 27
• 147 को 27 से विभाजित करें: 147 ÷ 27 = 5 शेष 12
• 27 को 12 से विभाजित करें: 27 ÷ 12 = 2 शेष 3
• 12 को 3 से विभाजित करें: 12 ÷ 3 = 4 शेष 0

2. आखिरी गैर-शून्य शेष 3 हैं.
3. इसलिए, 1071 और 462 का GCD 3 हैं.

GCD के अनुप्रयोग

GCD का गणित और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं. कुछ अनुप्रयोगों में शामिल हैं:

• दो या अधिक पूर्णांकों का न्यूनतम साझा गुणक (LCM) खोजना
• भिन्न संकुचित करना
• द्विसंदिग्ध समीकरणों को हल करना
• बहुपद के एक समूह का सबसे बड़ा साझा गुणक खोजना
• संरक्षण विज्ञान

GCD सबसे अधिक पूछे जाने वाले प्रश्न

दो संख्याओं का गोल्यात्मक साझा गुणक (GCD) क्या होता हैं?

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक (GCD) होता हैं जो दोनों संख्याओं को बिना शेष छोड़ते हुए विभाजित करता हैं.

आप दो संख्याओं का GCD कैसे ढूंढते हैं?

दो संख्याओं का GCD ढूंढने के लिए कई तरीके हैं. एक आमतौर पर प्रयुक्त तरीका यूक्लिडियन ऍल्गोरिदम है, जिसमें बड़े संख्या को छोटे संख्या से बार-बार विभाजित करते हैं और शेष लेते हैं. GCD अंतिम गैर-शून्य शेष होता हैं.

दो प्राइम संख्याओं का GCD क्या होता हैं?

दो प्राइम संख्याओं का GCD 1 होता हैं.

एक सामान्य गुणक होने वाले दो संख्याओं का GCD क्या होता हैं?

यदि दो संख्याओं में एक सामान्य गुणक हैं, तो उनका GCD उन संख्याओं के GCD से उस सामान्य गुणक का उत्पाद होता हैं.

निश्चित रूप से प्राइम नहीं होने वाले दो संख्याओं का GCD क्या होता हैं?

दो संख्याएं निश्चित रूप से प्राइम नहीं होने वाली हैं यदि उनके अलावा कोई साझा गुणक नहीं हैं. ऐसे संख्याओं का GCD 1 होता हैं.

एक संख्या और 0 का GCD क्या होता हैं?

एक संख्या और 0 का GCD वही संख्या होता हैं.

एक संख्या और 1 का GCD क्या है?

एक संख्या और 1 का GCD 1 है।

एक संख्या और उसी का GCD क्या है?

एक संख्या और उसी का GCD संख्या खुद है।

एक संख्या और उसके नकारात्मक का GCD क्या है?

एक संख्या और उसके नकारात्मक का GCD संख्या की शुद्ध मान्यता है।

एक संख्या और उसकी प्रतिस्थापना का GCD क्या है?

एक संख्या और उसकी प्रतिस्थापना का GCD 1 है।