गामा वितरण

गामा वितरण

गामा वितरण पूर्णांकों के बाकी समय, जीवनकाल, और अन्य गैर-अवधिक रैन्डम परिवर्तनों का मॉडल बनाने के लिए आंकड़ाशास्त्र में व्यापक रूप से प्रयोग होने वाला एक निरंतर संभावना वितरण है। यह एक दो-पैरामीटर वितरण है, जिसमें आकार पैरामीटर $\alpha>0$ और दर पैरामीटर $\beta>0$ होता है।

प्रायोज्यता घनत्व फ़ंक्शन

गामा वितरण का प्रायोज्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) निम्न भांग में दिया जाता है:

$$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहां $\Gamma(\alpha)$ गामा फ़ंक्शन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} dx$$

प्रायोज्यता वितरण फ़ंक्शन

गामा वितरण का प्रायोज्यता वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) निम्न भांग में दिया जाता है:

$$F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x t^{\alpha-1} e^{-t} dt$$

गुण

गामा वितरण के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जिनमें शामिल होते हैं:

• गामा वितरण की माध्य का फ़र्मूला है:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$$

• गामा वितरण का चार्वीयता खण्ड की जानकारी होती है:

$$S(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$

• गामा वितरण की मुड़ता खण्ड की जानकारी होती है:

$$\gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\alpha}}$$

• गामा वितरण की अतिरिक्त रूखमुद्रा खण्ड की जानकारी होती है:

$$\gamma_2 = \frac{6}{\alpha}$$

अनुप्रयोग

गामा वितरण कई विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है, जिनमें शामिल होते हैं:

• सुरक्षितता अभियांत्रिकी: गामा वितरण का उपयोग सुरक्षितता अभियांत्रिकी में असफलता समयों के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• बीमा: गामा वितरण का उपयोग बीमा में दावे के आकार के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• वित्त: गामा वितरण का उपयोग वित्त में स्टॉक रिटर्न के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• जीवविज्ञान: गामा वितरण का उपयोग बायोलॉजी में घटनाओं के बीच की प्रतीक्षा काल के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

गामा वितरण एक बहुमुखी और प्रभावी वितरण है जो विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग होता है। यह एक दो-पैरामीटर वितरण है जो समझने और उपयोग करने में आसान है, और इसके कई महत्वपूर्ण गुण हैं जो इसे विभिन्न रैन्डम परिवर्तनों के मॉडलिंग के लिए उपयोगी बनाते हैं।

गामा वितरण सूत्र

गैमा वितरण का परिमल प्रवाह (सीडीएफ) इस प्रकार दिया जाता है:

$$F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x t^{\alpha-1} e^{-\beta t} dt$$

औसत और विचलन

गैमा वितरण का औसत और विचलन इस प्रकार दिए जाते हैं:

• औसत: $E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$
• विचलन: $V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$

अनुप्रयोग

गैमा वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• विश्वसनीयता इंजीनियरिंग: गैमा वितरण का उपयोग घटकों के असफलता समयों के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• बीमा: गैमा वितरण का उपयोग दावा राशियों के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• वित्त: गैमा वितरण का उपयोग स्टॉक रिटर्न के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• जीवविज्ञान: गैमा वितरण का उपयोग पॉयसन प्रक्रिया में घटनाओं के बीच की प्रतीक्षा समयों के वितरण का मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

गैमा वितरण एक विविध और शक्तिशाली प्रासंगिकता वितरण है जो विभिन्न गैर-नकारात्मक यादृच्छिक राशियों का मॉडल बनाने के लिए उपयोग में लाया जाता है। इसकी परिवर्तनशीलता इसे गलत नकारात्मक यादृच्छिक राशियों के माैल्यों का मूल्यवान औजार बनाती है।

गैमा वितरण औसत और विचलन

गैमा वितरण एक निरंतर प्रासंगिकता वितरण है जो आँकड़े का समय, जीवनकाल और अन्य गैर-नकारात्मक यादृच्छिक राशियों का मॉडल बनाने में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह दो-पैरामीटर वितरण है, जिसमें आकार पैरामीटर $\alpha$ और दर पैरामीटर $\beta$ होता है।

गैमा वितरण का औसत

गैमा वितरण का औसत इस प्रकार दिया जाता है:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$$

जहाँ:

• $E(X)$ गैमा वितरण का औसत है
• $\alpha$ आकार पैरामीटर है
• $\beta$ दर पैरामीटर है

गैमा वितरण का विचलन

गैमा वितरण का विचलन इस प्रकार दिया जाता है:

$$V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$

जहाँ:

• $V(X)$ गैमा वितरण का विचलन है
• $\alpha$ आकार पैरामीटर है
• $\beta$ दर पैरामीटर है

औसत और विचलन के बीच संबंध

गैमा वितरण का औसत और विचलन निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित हैं:

$$V(X) = E(X)^2$$

इसका मतलब है कि गैमा वितरण का विचलन औसत के वर्ग के बराबर है।

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास आकार पैरामीटर $\alpha = 3$ और दर पैरामीटर $\beta = 2$ के साथ एक गैमा वितरण है। तो इस वितरण का औसत और विचलन हैं:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{3}{4} = 0.75$$

इसलिए, इस गैमा वितरण का औसत 1.5 है और विचलन 0.75 है।

गैमा वितरण गुण

गैमा वितरण एक निरंतर प्रासंगिकता वितरण है जो प्रतीक्षा समय, जीवनकाल, और अन्य गैर-नकारात्मक यादृच्छिक राशियों का मॉडल बनाने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह दो-पैरामीटर वितरण है, जिसमें आकार पैरामीटर $\alpha$ और दर पैरामीटर $\beta$ होता है।

गैमा वितरण की गुणधर्म

गैमा वितरण की कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होती हैं, जिनमें से कुछ निम्नलिखित हैं:

• आकार: गामा वितरण का आकार आकार पैरामीटर $\alpha$ द्वारा निर्धारित होता है। जब $\alpha$ छोटा होता है, तब वितरण दाएं तरफ कीर्तिमानित होता है, और $\alpha$ बढ़ने से, वितरण अधिक सममित हो जाता है।

• औसत: गामा वितरण का औसत $\frac{\alpha}{\beta}$ द्वारा दिया जाता है।

• विचलन: गामा वितरण का विचलन $\frac{\alpha}{\beta^2}$ द्वारा दिया जाता है।

• वक्रता: गामा वितरण की वक्रता $\frac{2}{\sqrt{\alpha}}$ द्वारा दी जाती है।

• अतिरिक्त कर्टोसिस: गामा वितरण की अतिरिक्त कर्टोसिस $\frac{6}{\alpha}$ द्वारा दी जाती है।

गामा वितरण के अनुप्रयोग

गामा वितरण का व्यापक प्रयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है, जो इसमें शामिल हैं:

• सुरक्षा इंजीनियरिंग: गामा वितरण का उपयोग घटकों और प्रणालियों के नुकसान करने के समय के निर्धारण के लिए किया जाता है।
• बीमा: गामा वितरण का उपयोग बीमा पॉलिसी में दावा राशि के मॉडलिंग के लिए किया जाता है।
• वित्त: गामा वितरण का उपयोग निवेश पर लाभ के मॉडलिंग के लिए किया जाता है।
• जीवविज्ञान: गामा वितरण का उपयोग जैविक प्रक्रियाओं में घटनाओं के बीच इंतजार के समय के वितरण के लिए किया जाता है।

गामा वितरण एक संवेगशील और शक्तिशाली प्रायिकता वितरण है जिसका व्यापक प्रयोग है। इसकी गुणधर्म इसे विभिन्न गैर-वाणिज्यिक यादृच्छिक माप चरों के मॉडलिंग के लिए एक उपयोगी उपकरण बनाती है।

गामा वितरण प्लॉट

गामा वितरण एक यांत्रिक प्रायिकता वितरण है जो सांख्यिकी में इंतजार के समय, जीवनकाल, और अन्य गैर-वाणिज्यिक यादृच्छिक चरों के मॉडलिंग के लिए व्यापक रूप से प्रयोग किया जाता है। यह एक दो-पैरामीटर वितरण है, जिसमें आकार पैरामीटर $\alpha$ और दर पैरामीटर $\beta$ होता है।

प्रायिकता घनत्व फलन

गामा वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहां:

• $x$ यांत्रिक प्रायिकता
• $\alpha$ आकार पैरामीटर
• $\beta$ दर पैरामीटर
• $\Gamma(\alpha)$ गामा संख्या है

गामा विकरण का आकार

गामा वितरण का आकार आकार और दर पैरामीटरों के मानों पर निर्भर करता है।

• जब $\alpha < 1$ होता है, तब वितरण दाएं तरफ कीर्तिमानित होता है।
• जब $\alpha = 1$ होता है, तब वितरण घनत्वात्मक होता है।
• जब $\alpha > 1$ होता है, तब वितरण बाएं तरफ कीर्तिमानित होता है।

गामा विकरण का दर

दर पैरामीटर $\beta$ वितरण के तालिका को नियंत्रित करता है। $\beta$ के अधिक मान से, वितरण में संकुचितता होती है, जबकि $\beta$ के कम मान से, वितरण में विस्तार होता है।

गामा वितरण के अनुप्रयोग

गामा वितरण का सांख्यिकी में कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• इंतजार के समयों का मॉडलिंग
• जीवनकाल का मॉडलिंग
• बीमा दावे का मॉडलिंग
• वित्तीय डेटा का मॉडलिंग
• पर्यावारणीय डेटा का मॉडलिंग

गामा वितरण एक व्यापक वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न गैर-वाणिज्यिक यादृच्छिक माप चरों के मॉडलिंग के लिए किया जा सकता है।

गैमा वितरण एक निरंतर संभावना वितरण है जो विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग होता है ताकि विभिन्न प्रकार के घटनाओं को मॉडल कर सके। यहां गैमा वितरण के कुछ मुख्य अनुप्रयोग हैं:

1. विश्वसनीयता और समरक विश्लेषण:

• गैमा वितरण का आमतौर पर उपयोग विश्वसनीयता इंजीनियरिंग और समरक विश्लेषण में किया जाता है ताकि घटने का समय या घटना की अवधि का मॉडल किया जा सके। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है जब विफलता दर समय के साथ बढ़ती होती है, जिसे बढ़ती विफलता दर के रूप में जानते हैं।

2. बीमा और वित्तयानिक विज्ञान:

• बीमा और वित्तयानिक विज्ञान में, गैमा वितरण का उपयोग दावा राशि या बीमा दावों के बीच के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग विशेष रूप से तब किया जाता है जब विपरीत डेटा या लंबी पूंछ वितरण के साथ निपटने की बात होती है।

3. वित्त और जोखिम प्रबंधन:

• गैमा वितरण वित्तीय मॉडलिंग और जोखिम प्रबंधन में अनुप्रयोगों का पता लगाता है। इसे संपत्ति के वापसी, विकल्प मूल्यों, और क्रेडिट जोखिम की वितरण का मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

4. जलविज्ञान और पर्यावरण विज्ञान:

• जलविज्ञान और पर्यावरण विज्ञान में, गैमा वितरण का उपयोग बारिश की मात्रा, नदी धारा, और अन्य पर्यावरणीय मापकों के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।

5. बायोमेडिकल और स्वास्थ्य विज्ञान:

• बायोमेडिकल और स्वास्थ्य विज्ञान में, गैमा वितरण का उपयोग जीवित रहने के समय, रोग प्रसार, और अन्य स्वास्थ्य संबंधित परिणामों के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।

6. गुणवत्ता नियंत्रण और सिक्स सिग्मा:

• गैमा वितरण का उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण और सिक्स सिग्मा मेथडों में प्रक्रिया मापों के वितरण का मॉडल करने और प्रक्रिया क्षमता का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।

7. छवि प्रसंस्करण और कंप्यूटर दृष्टि:

• छवि प्रसंस्करण और कंप्यूटर दृष्टि में, गैमा वितरण का उपयोग पिक्सेल प्रभावों के वितरण का मॉडल करने और छवि के योग को मजबूत करने के लिए किया जाता है।

8. खगोलशास्त्र और खगोलविज्ञान:

• खगोलशास्त्र और खगोलविज्ञान में, गैमा वितरण का उपयोग तारामंडल की तेज़ी, प्रकाशता, और अन्य खगोलीय अवलोकनों के वितरण का मॉडल करने के लिए किया जाता है।

9. कतार सिद्धांत और संचालन अनुसंधान:

• कतार सिद्धांत और संचालन अनुसंधान में, गैमा वितरण उपयोग होता है प्रतीक्षा के समय, सेवा के समय, और अन्य प्रतीक्षा संबंधी मापकों के वितरण का मॉडल करने के लिए।

10. सांख्यिकीय अनुनय और बेसियन विश्लेषण:

• गैमा वितरण निश्चित सांख्यिकीय मॉडलों, जैसे कि पुइस्सन-गैमा मॉडल और नकारात्मक विनोबियल वितरण के लिए बेसियन विश्लेषण में एक संयुक्त पूर्व वितरण के रूप में काम करता है।

ये केवल कुछ उदाहरण हैं गैमा वितरण के विभिन्न क्षेत्रों में विविध अनुप्रयोगों के। इसकी लचीलापन और विभिन्न घटनाओं को मॉडल करने की क्षमता इसे सांख्यिकीय मॉडलिंग और विश्लेषण के लिए एक मूल्यवान उपकरण बनाती है।

सारांश

एक सारांश एक पाठ या जानकारी के संक्षेप में एक संक्षेप है। यह मुख्य बिंदुओं और मुख्य विचारों को प्रदान करता है बिना बहुत अधिक विवरण में जाने के। सारांश ऊंच-नीच नहीं होने के पश्चात पठकों को पूरी चीज़ पढ़ने से पहले माध्यमिक धारणा प्रदान करने के लिए अक्सर इस्तेमाल किया जाता है।

सारांश के तत्व

एक अच्छा सारांश निम्नलिखित तत्वों को शामिल करना चाहिए:

• मुख्य विचार: मुख्य विचार पाठ का केंद्रीय बिंदु या थीसिस होता है। यह तथ्यों के बारे में जो लेखक विषय के बारे में कहना चाहता है।
• समर्थन विवरण: समर्थन विवरण मुख्य विचार का समर्थन करने वाले तथ्यों, उदाहरणों और प्रमाण को होता है।
• प्रबंधन: एक सारांश को एक तार्किक तरीके से संगठित किया जाना चाहिए, जिसमें मुख्य विचार शुरू में होता है और समर्थन विवरण सामग्री के बाद में आते हैं।
• संक्षिप्तता: एक सारांश संक्षेप होना चाहिए, इसका अर्थ है कि यह जितना संक्षेप में हो सके होना चाहिए, हालांकि इम्पोर्टेंट जानकारी आवश्यकताओं की संकेत के साथ अभी भी संवेदनशील करना चाहिए।

सारांश कैसे लिखें

एक सारांश लिखने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. ध्यानपूर्वक पाठ पढ़ें। मुख्य विचार और समर्थन विवरणों को समझें सुनिश्चित करें।
2. मुख्य विचार की पहचान करें। लेखक विषय के बारे में क्या कहना चाहता है?
3. एक स्पष्ट और संक्षेप्त वाक्य में मुख्य विचार लिखें। यह आपके सारांश की पहली पंक्ति होगी।
4. समर्थन विवरण जोड़ें। पाठ से तथ्यों, उदाहरणों और प्रमाण का उपयोग करके मुख्य विचार का समर्थन करें।
5. अपने सारांश को संगठित करें। सुनिश्चित करें कि जानकारी तार्किक ढंग से बहती है और मुख्य विचार शुरू में है।
6. अपना सारांश संशोधित और संशोधित करें। सुनिश्चित करें कि यह संक्षेप्त, स्पष्ट और त्रुटिहीन हो।

सारांश उदाहरण

यहां कुछ सारांश उदाहरण हैं:

• लेख सारांश: “लेख ‘कार्य का भविष्य’ में प्रौद्योगिकी के प्रभाव पर चर्चा होती है। लेखक का दावा है कि प्रौद्योगिकी काम करने के तरीके को बदल रही है और हमें इन परिवर्तनों के साथ समय सामरिक रहने की आवश्यकता है। लेख में प्रदर्शित किया जाता है कि कैसे प्रौद्योगिकी काम के लिए उपयोग की जा रही है और यह कर्मचारियों पर कैसे असर डाल रही है।”
• पुस्तक सारांश: “हारपर ली द्वारा लिखी गई पुस्तक ‘टू किल अ मॉकिंगबर्ड’ एटिकस फिंच की कहानी सुनाती है, एक वकील जो एक सफेद महिला का यौन शोषण के आरोप में कलंकित होने पर बेगुनाह काली महिला की रक्षा करता है। पुस्तक रेसिज़्म, पूर्वाग्रह और न्याय के विषयों को खोजती है। यह एक क्लासिक अमेरिकी उपन्यास है जिसे शक्तिशाली कथा-रचना और मानवीय स्वभाव के बिंदुओं के लिए प्रशंसा की जाती है।”
• फ़िल्म सारांश: “‘द शॉशैंक रिडेंप्शन’ फिल्म आंडी ड्यूफ्रेन की कहानी कहती है, एक बैंकर जिसे गलत रूप से उनकी पत्नी की हत्या के आरोप में दोषी ठहराया जाता है और कारागार में भेज दिया जाता है। फ़िल्म आंडी की आशा और पुनर्मिलन की कहानी का अनुसरण करती है जब वह अन्य कैदियों के दोस्त बनता है और एक रास्ता निकालने का तरीका खोजता है।”

निष्कर्ष

सारांश पाठ के मुख्य बिंदुओं को तेजी से समझने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। वे परीक्षाओं के लिए अध्ययन करने, रिसर्च पेपर लिखने और वर्तमान घटनाओं के साथ कद्रयों को बनाए रखने जैसे कई उद्देश्यों के लिए उपयोग की जाती हैं। इस गाइड में दिए गए चरणों का पालन करके, आप स्पष्ट, संक्षेप्त और सूचनात्मक सारांश लिख सकते हैं।

गैमा वितरण सवाल जवाब

गैमा वितरण क्या है?

गैमा वितरण एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग किए जाने के लिए किए गए निश्चित संख्या के घटनाओं तक प्रतीक्षा समय का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है। यह एक्सपोनेंशियल वितरण का विस्तार है, जिसका उपयोग प्रथम घटना होने तक की प्रतीक्षा समय का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।

गैमा वितरण के पैरामीटर क्या हैं?

गैमा वितरण में दो पैरामीटर होते हैं: आकार पैरामीटर $\alpha$ और दर पैरामीटर $\beta$। आकार पैरामीटर वितरण की आकार नियंत्रित करता है, जबकि दर पैरामीटर वितरण की फैलाव को नियंत्रित करता है।

गैमा वितरण का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन क्या है?

गैमा वितरण का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:

$$f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहां $x$ यादृच्छिक परिमाण है, $\alpha$ आकार पैरामीटर है, $\beta$ दर पैरामीटर है, और $\Gamma(\alpha)$ गैमा फ़ंक्शन है।

गैमा वितरण का माध्यम क्या है?

गैमा वितरण का माध्यम निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$$

गैमा वितरण का व्यास क्या है?

गैमा वितरण का व्यास निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$

गैमा वितरण के कुछ उपयोग किस प्रतिष्ठिति में होते हैं?

गैमा वितरण का उपयोग कई एप्लिकेशन में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• सत्यापन इंजीनियरिंग: गैमा वितरण का उपयोग संघटनों के असफलता समय की वितरण का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।
• बीमा: गैमा वितरण का उपयोग दावा आकार के वितरण का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।
• वित्त: गैमा वितरण का उपयोग स्टॉक लौट के वितरण का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।
• हाइड्रोलॉजी: गैमा वितरण का उपयोग बारिश की मात्रा के वितरण का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।

गैमा वितरण अन्य वितरणों से कैसे जुड़ा होता है?

गैमा वितरण किए गए कई अन्य वितरणों से जुड़ा होता है, जिनमें शामिल हैं:

• एक्सपोनेंशियल वितरण: गैमा वितरण एक एक्सपोनेंशियल वितरण का विस्तार है।
• चाइ-स्क्वेयर्ड वितरण: चाइ-स्क्वेयर्ड वितरण $\alpha = \frac{1}{2}$ के साथ गैमा वितरण का एक विशेष मामला है।
• ईरलैंग वितरण: ईरलैंग वितरण $\alpha = n$ के साथ गैमा वितरण का एक विशेष मामला है, जहां $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है।