क्वाड्रेटिक समीकरण के जड़ें क्या होती हैं

क्वाड्रेटिक समीकरण एक द्विघातीय पोलिनोमियल समीकरण होती है जिसकी रूप में $$ax^2 + bx + c = 0$$ होता है, यहाँ पर $a \neq 0$। क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ें वे मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ें ढूंढ़ना

क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ें ढूंढ़ने के लिए कई तरीके हैं। एक साधारित तरीका है क्वाड्रेटिक सूत्र: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

यहाँ पर $a$, $b$, और $c$ क्वाड्रेटिक समीकरण के संकेतक होते हैं।

विभिन्नरूप

क्वाड्रेटिक समीकरण का विभेदक $b^2 - 4ac$ होता है। विभेदक समीकरण की जड़ों की संख्या और स्वभाव का निर्धारण करता है:

• यदि $D > 0$ हो, तो समीकरण के दो अलग वास्तविक जड़ें होती हैं।
• यदि $D = 0$ हो, तो समीकरण में एक बार दोहराई गई वास्तविक जड़ होती है (जिसे दोहरी जड़ कहा जाता है)।
• यदि $D < 0$ हो, तो समीकरण में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है (जिसे काल्पनिक जड़ कहा जाता है)।

उदाहरण

यहाँ कुछ क्वाड्रेटिक समीकरणों की जड़ें ढूंढ़ने के कुछ उदाहरण हैं:

• उदाहरण 1: समीकरण $x^2 - 4x + 3 = 0$ की जड़ें ढूंढ़ें।

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 2}{2}$$ $$x = 2 \pm 1$$

तो समीकरण की जड़ें $x = 1$ और $x = 3$ होती हैं।

• उदाहरण 2: समीकरण $2x^2 + 3x + 1 = 0$ की जड़ें ढूंढ़ें।

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$$ $$x = \frac{-3 \pm 1}{4}$$ $$x = \frac{-2}{4} \quad \text{या} \quad x = \frac{-4}{4}$$ $$x = -\frac{1}{2} \quad \text{या} \quad x = -1$$

तो समीकरण की जड़ें $x = -\frac{1}{2}$ और $x = -1$ होती हैं।

• उदाहरण 3: समीकरण $x^2 + 2x + 5 = 0$ की जड़ें ढूंढ़ें।

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm 4i}{2}$$ $$x = -1 \pm 2i$$

तो समीकरण की जड़ें $x = -1 + 2i$ और $x = -1 - 2i$ होती हैं।

जड़ों का स्वभाव

विभेदक

क्वाड्रेटिक समीकरण $$ax^2 + bx + c = 0$$ का विभेदक सूत्र $$D = b^2 - 4ac$$ होता है। विभेदक समीकरण की जड़ों के स्वभाव का निर्धारण करता है:

• यदि $$D > 0$$ हो, तो समीकरण के दो अलग वास्तविक जड़ें होती हैं।
• यदि $$D = 0$$ हो, तो समीकरण में एक बार दोहराई गई वास्तविक जड़ होती है।

उदाहरण 3: क्वाड्रेटिक समीकरण $$x^2 + 4x + 5 = 0$$ का विभाजक कोई $$D = (4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$$. क्योंकि $$D < 0$$ है, समीकरण के कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं.

निष्कर्ष

क्वाड्रेटिक समीकरण का विभाजक समीकरण की जड़ की प्रकृति निर्धारित करता है. विभाजक की गणना करके, हम समीकरण के पास दो भिन्न वास्तविक जड़ें हैं, एक दोहरे हुए वास्तविक जड़ हैं या कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं यह निर्धारित कर सकते हैं.

क्वाड्रेटिक समीकरण के जड़ों की खोज

क्वाड्रेटिक समीकरण द्वितीय-दर्जा का प्रमाणित समीकरण है जिसकी रूप में होता है:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

यहाँ $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ होती हैं, और $a$ संज्ञक होती है.

क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ें वे मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

क्वाड्रेटिक समीकरण के हल करना

क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करने के लिए कई तरीके हैं. एक सामान्य तरीका क्वाड्रेटिक सूत्र है:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

यहाँ $a$, $b$, और $c$ क्वाड्रेटिक समीकरण के संकेतक होते हैं.

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करना

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करने के लिए, सीधे $a$, $b$, और $c$ के मानों को सूत्र में डालें और $x$ के लिए हल करें.

उदाहरण के लिए, क्वाड्रेटिक समीकरण $x^2 - 3x - 4 = 0$ को हल करने के लिए, हमें $a = 1$, $b = -3$, और $c = -4$ को सूत्र में सब्सटिट्यूट करना होगा:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$$

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हमें:

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$$

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$$

$$x = \frac{3 \pm 5}{2}$$

इसलिए, समीकरण $x^2 - 3x - 4 = 0$ की जड़ें $x = 4$ और $x = -1$ हैं.

क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करने के अन्य तरीके

क्वाड्रेटिक सूत्र के अलावा, क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करने के कई अन्य तरीके हैं, जैसे:

• पूर्ण वर्ग बनाना
• अंशव्यक्ति
• एक ग्राफ का उपयोग

आपका चुना हुआ तरीका विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करेगा.

क्वाड्रेटिक समीकरण एक सामान्य प्रकार की बीजगणित समीकरण होती है, और उन्हें हल करने के लिए कई तरीके होते हैं. क्वाड्रेटिक सूत्र एक ऐसा प्रयोगी तरीका है जिसका उपयोग किसी भी क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है.

क्वाड्रेटिक समीकरण के जड़ों पर शब्दीय समस्याएँ

क्वाड्रेटिक समीकरण होती है $$ax^2 + bx + c = 0$$ जहां $a$, $b$, और $c$ निरंतर हैं और $x$ चर होती है. क्वाड्रेटिक समीकरण के जड़ें वे मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

उदाहरण 1: किसी समीकरण के जड़ें ढूंढ़ने के लिए अंशव्यक्ति का उपयोग करें

क्वाड्रेटिक समीकरण $$x^2 - 5x - 6 = 0$$ की जड़ें ढूंढ़ें.

समाधान:

1. समीकरण को अंशव्यक्ति में बिन्दुगत करें:

$$x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0$$

2. प्रत्येक अंश को शून्य के बराबर समान बनाएं और $x$ के लिए हल करें:

$$x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

$$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

इसलिए, क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ें $x = 6$ और $x = -1$ हैं.

उदाहरण 2: क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ें क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करके ढूंढ़ें

क्वाड्रेटिक समीकरण $$2x^2 + 3x - 5 = 0$$ की जड़ें ढूंढ़ें.

समाधान:

1. क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करें:

कृपया दी गई सामग्री का हिंदी संस्करण दें: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ जहां $a = 2$, $b = 3$, और $c = -5$ हैं।

2. क्वाड्रेटिक सूत्र में $a$, $b$, और $c$ की मानों को प्रतिस्थापित करें: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}$$ $$x = \frac{-3 \pm 7}{4}$$

इसलिए, क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियों के रूप $x = \frac{1}{2}$ और $x = -2$ हैं।

क्वाड्रेटिक समीकरण के अनुप्रयोग

क्वाड्रेटिक समीकरणों के कई अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियों को पाने का उपयोग गोलीक गति संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।
• क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियों को पाने का उपयोग आयत के क्षेत्र संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।
• क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियों को पाने का उपयोग गोलाकार के आयतन संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।

निष्कर्ष

क्वाड्रेटिक समीकरणें एक शक्तिशाली उपकरण हैं जो वास्तविक जीवन में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियों को पाने के तरीके को समझकर, आप नए संभावनाओं की दुनिया को खोल सकते हैं।

क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ की खोज के अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्वाड्रेटिक सूत्र क्या है?

क्वाड्रेटिक सूत्र एक गणितीय समीकरण है जो क्वाड्रेटिक समीकरण की व्यास्थितियों को खोजने के लिए उपयोग किया जा सकता है। क्वाड्रेटिक सूत्र है:

$$x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a$$

जहां:

• x अज्ञेय संख्या है
• a, b, और c क्वाड्रेटिक समीकरण के संकेतक हैं

मैं क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग कैसे करूं?

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको क्वाड्रेटिक समीकरण के लिए a, b, और c के मानों को जानने की आवश्यकता होती है। इन मानों को प्राप्त करने के बाद, आप इन्हें क्वाड्रेटिक सूत्र में प्लग करके x के लिए समाधान कर सकते हैं।

क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियाँ क्या होती हैं?

क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियाँ वे मान होते हैं जो समीकरण को शून्य के बराबर बनाते हैं। क्वाड्रेटिक समीकरण के व्यास्थितियाँ वास्तविक संख्याएँ, काल्पनिक संख्याएँ, या समिश्र संख्याएँ हो सकती हैं।

वास्तविक और काल्पनिक व्यास्थितियों के बीच क्या अंतर है?

वास्तविक व्यास्थितियाँ वे संख्याएँ होती हैं जो संख्या सीमा पर प्रतिष्ठित की जा सकती हैं। काल्पनिक व्यास्थितियाँ वे संख्याएँ होती हैं जो संख्या सीमा पर प्रतिष्ठित नहीं की जा सकती हैं। काल्पनिक व्यास्थितियाँ हमेशा कगदचींटी इकाई i के एकल के गुणक होती हैं, जो -1 की वर्गमूल है।

समिश्र संख्या क्या होती है?

समिश्र संख्या एक ऐसी संख्या होती है जिसमें एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग होता है। समिश्र संख्याएँ a + bi के रूप में दर्शायी जा सकती हैं, जहां a वास्तविक भाग है और b काल्पनिक भाग है।

काल्पनिक व्यास्थितियों वाले क्वाड्रेटिक समीकरणों के व्यास्थितियाँ कैसे खोजें?

काल्पनिक व्यास्थितियों वाले क्वाड्रेटिक समीकरणों के व्यास्थितियों को खोजने के लिए, आप क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। जब आप a, b, और c के मानों को क्वाड्रेटिक सूत्र में प्लग करते हैं, तो आपको दो काल्पनिक व्यास्थितियाँ मिलेंगी। काल्पनिक व्यास्थितियाँ एक-दूसरे के संयुक्त संदर्भ होंगी, जिससे यह सिद्ध होता है कि उनके वास्तविक भाग में एक समान होगा लेकिन काल्पनिक भाग उलट होगा।

कुछ क्वाड्रेटिक समीकरणों के उदाहरण क्या हैं?

यहां कुछ क्वाड्रेटिक समीकरणों के उदाहरण हैं:

• x² + 2x + 1 = 0
• 2x² - 3x - 5 = 0

कैसे मैं बिना क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग किए एक द्विघात समीकरण को हल कर सकता हूं?

क्वाड्रेटिक सूत्र के बिना एक द्विघात समीकरण को हल करने के कुछ तरीके होते हैं. एक तरीका है फैक्टरिंग विधि का उपयोग करना. फैक्टरिंग विधि में, द्विघात समीकरण को दो रैखिक कारकों में बाँटने का शामिल होता है. एक बार जब द्विघात समीकरण को फैक्टर किया जाता है, आप प्रत्येक रैखिक कारक को शून्य के बराबर सेट कर सकते हैं और x के लिए हल कर सकते हैं.

क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग किए बिना एक द्विघात समीकरण को हल करने का एक और तरीका है संपूर्ण करने की विधि का उपयोग करना. संपूर्ण करने की विधि में, एक निरंतर संख्या को द्विघात समीकरण में जोड़ा और घटाया जाता है ताकि यह पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सके. एक बार जब द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग के रूप में होता है, आप समीकरण के दोनों ओर से वर्गमूल ले सकते हैं और x के लिए हल कर सकते हैं.