बराबर (Equal) चिह्न

बराबर (=) एक गणितीय चिह्न है जो दो अभिव्यक्तियों या मानों के बीच समानता का संकेत करता है। यह गणित में सबसे मौलिक चिह्नों में से एक है और इसे विभिन्न संदर्भों में उपयोग किया जाता है।

बराबर (Equal) चिह्न का इतिहास

बराबर चिह्न पहले 16वीं शताब्दी में वेल्श गणितज्ञ रॉबर्ट रिकॉर्ड द्वारा उपयोग किया गया था। उन्होंने इस प्रतीक का उपयोग लैटिन शब्द “aequalis est” को प्रतिष्ठा देने के लिए किया, जिसका अर्थ होता है “समान है”। यह प्रतीक तेजी से प्रचलित हुआ और शीघ्र ही अन्य गणितज्ञों द्वारा अपनाया गया।

बराबर (Equal) चिह्न का उपयोग

बराबर चिह्न अलग-अलग गणितीय प्रमाणों में उपयोग होता है, जिनमें से कुछ निम्नलिखित हैं:

• समीकरण (Equations): समीकरण एक गणितीय कथन है जो दावा करता है कि दो अभिव्यक्तियों समान हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण 3x + 5 = 10 यह कथन करता है कि अभिव्यक्ति 3x + 5 अभिव्यक्ति 10 के समान है।
• वैकल्पिकताएं (Inequalities): वैकल्पिकता एक गणितीय कथन है जो दावा करता है कि दो अभिव्यक्तियों समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वैकल्पिकता 3x + 5 > 10 यह कथन करता है कि अभिव्यक्ति 3x + 5 अभिव्यक्ति 10 से अधिक है।
• आकलन (Assignments): आकलन एक गणितीय कथन है जो एक मान को एक परिवर्तनी में सौंपता है। उदाहरण के लिए, आकलन x = 5 भाग्यशाली x को मान 5 सौंपता है।

बराबर (Equal) चिह्न की गुणधर्म

बराबर चिह्न के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म हैं, जिनमें से कुछ हैं:

• प्रतिप्रतिसमता (Reflexivity): बराबर चिह्न प्रतिप्रतिसमता वाला है, अर्थात् किसी भी अभिव्यक्ति को उसी से समान माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 = 3।
• सन्मिति (Symmetry): बराबर चिह्न सन्मिति वाला है, अर्थात् यदि दो अभिव्यक्तियाँ समान हैं, तो उन्हें आदेश का परिवर्तन करके भी कथन की सत्यता में कोई परिवर्तन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि 3 = 5 है, तो 5 = 3 है।
• सङ्गति (Transitivity): बराबर चिह्न सङ्गति वाला है, अर्थात् यदि दो अभिव्यक्तियाँ तीसरी अभिव्यक्ति के बराबर हैं, तो दो अभिव्यक्तियाँ एक-दूसरे के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि 3 = 5 और 5 = 7 है, तो 3 = 7 है।

असमान (Not Equal) चिह्न

असमान चिह्न एक गणितीय चिह्न है जिसका उपयोग यह संकेत करने के लिए किया जाता है कि दो अभिव्यक्तियाँ एक-दूसरे के समान नहीं हैं। यह चिह्न ≠ से प्रदर्शित किया जाता है।

असमान चिह्न का उपयोग कैसे करें

असमान चिह्न का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों में दो मानों की तुलना करने के लिए किया जाता है। यदि दो मान समान नहीं हैं, तो अभिव्यक्ति की प्रमाणिता सत्य होगी। अन्यथा, अभिव्यक्ति की प्रमाणिता असत्य होगी।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 5 ≠ 3 तथ्यात्मक मान रखने के कारण सत्य है क्योंकि 5 3 के समान नहीं है। अभिव्यक्ति 5 ≠ 5 तथ्यात्मक मान रखने के कारण असत्य है क्योंकि 5 5 के समान है।

असमान चिह्न के उदाहरण

असमान चिह्न को विभिन्न गणितीय अभिव्यक्तियों में उपयोग किया जा सकता है। यहां कुछ उदाहरण हैं:

• 5 ≠ 3
• x ≠ y
• a + b ≠ c
• sin(x) ≠ cos(x)

निष्कर्ष

असमान चिह्न एक उपयोगी गणितीय चिह्न है जिसका उपयोग दो मानों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। सही गणितीय अभिव्यक्तियाँ लिखने के लिए असमान चिह्न का उपयोग करने का समझना महत्वपूर्ण है।

बराबर (Equal) चिह्न का उपयोग

बराबरी की बात करने के लिए इस्तेमाल होने वाला समान चिन्ह (=) गणित और प्रोग्रामिंग में सबसे आमतौर पर उपयोग होने वाले संकेतों में से एक है। इसका उपयोग इस दर्शाने के लिए किया जाता है कि दो व्यक्तियों का एक ही मान है। उदाहरण के तौर पर, समीकरण 3 + 4 = 7 में, बराबर चिह्न इसकी दर्शाता है कि 3 और 4 का योग 7 के बराबर है।

गणित में

गणित में, बराबर चिन्ह दो व्यक्तियों के बीच बराबरी को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के तौर पर, समीकरण 3 + 4 = 7 में, बराबर चिन्ह इसकी दर्शाता है कि 3 और 4 का योग 7 के बराबर है।

बराबर चिन्ह का उपयोग चरणों की परिभाषा करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, समीकरण x = 5 में, बराबर चिन्ह इसकी दर्शाता है कि चर x को मान 5 से सम्पर्कित किया जाता है।

अन्य क्षेत्रों में

बराबर चिन्ह को अन्य क्षेत्रों में भी उपयोग किया जाता है, जैसे भौतिकी, रासायनिक विज्ञान और इंजीनियरिंग में। भौतिकी में, बराबर चिन्ह दो बलों के बीच बराबरी को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। रासायनिक विज्ञान में, बराबर चिन्ह दो रासायनिक प्रतिक्रियाओं के बीच बराबरी को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। इंजीनियरिंग में, बराबर चिन्ह दो मापों के बीच बराबरी को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है।

बराबर चिन्ह एक विविध संकेत है जो विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग होता है। इसका उपयोग दो व्यक्तियों के बीच बराबरी को दर्शाने, चरों की परिभाषा करने और दो मानों की तुलना करने के लिए किया जाता है।

बराबर चिन्ह के हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1: एक सरल समीकरण को हल करना

चलो समीकरण 3x + 5 = 17 की हल करें।

चरण 1: दोनों पक्षों से 5 कम करें

3x + 5 - 5 = 17 - 5 3x = 12

चरण 2: दोनों पक्षों को 3 से भाग दें

3x/3 = 12/3 x = 4

इसलिए, समीकरण 3x + 5 = 17 का समाधान x = 4 है।

उदाहरण 2: दोनों पक्षों में चर होने वाले समीकरण को हल करना

चलो समीकरण 2x + 3 = 5x - 7 की हल करें।

चरण 1: दोनों पक्षों के सारे पदों सहित x को एक पक्ष में ले जाएं

2x - 5x = -7 - 3 -3x = -10

चरण 2: दोनों पक्षों को -3 से भाग दें

-3x/-3 = -10/-3 x = 10/3

इसलिए, समीकरण 2x + 3 = 5x - 7 का समाधान x = 10/3 है।

उदाहरण 3: भिन्नों के साथ समीकरण को हल करना

चलो समीकरण 2/3x + 1/4 = 5/6 की हल करें।

चरण 1: मानक नामकों के कम से कम समापन से दोनों पक्षों को गुणा करें, जो 12 है

12 * 2/3x + 12 * 1/4 = 12 * 5/6 8x + 3 = 10

चरण 2: दोनों पक्षों से 3 कम करें

8x + 3 - 3 = 10 - 3 8x = 7

चरण 3: दोनों पक्षों को 8 से भाग दें

8x/8 = 7/8 x = 7/8

इसलिए, समीकरण 2/3x + 1/4 = 5/6 का समाधान x = 7/8 है।

उदाहरण 4: दशमलव के साथ समीकरण को हल करना

चलो समीकरण 0.5x + 1.2 = 3.7 की हल करें।

चरण 1: दोनों पक्षों से 1.2 कम करें

0.5x + 1.2 - 1.2 = 3.7 - 1.2 0.5x = 2.5

चरण 2: दोनों पक्षों को 0.5 से भाग दें

0.5x/0.5 = 2.5/0.5 x = 5

इसलिए, समीकरण 0.5x + 1.2 = 3.7 का समाधान x = 5 है।