प्रश्नावली और सामान्य शक्ति

गणित में, एक गुणन या शक्ति एक गणितीय क्रिया है जो एक आधार संख्या को एक निर्दिष्ट शक्ति के लिए बढ़ाता है। आधार संख्या वह संख्या है जिसे शक्ति के लिए बढ़ाया जाता है, और शक्ति वह संख्या है जिस पर आधार संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है।

चिह्ननिर्धारण

शक्ति के लिए चिह्ननिर्धारण निम्नलिखित होता है: a^n

यहाँ:

• a आधार संख्या होती है
• n शक्ति या शक्ति होती है

उदाहरण के लिए, 3^2 का अर्थ होता है 3 को शक्ति 2 के बराबर, जो 3 * 3 = 9 के बराबर होता है।

शक्तियों की गुणधर्म

शक्तियों के कई गुणधर्म होते हैं जिन्हें जानना उपयोगी होता है। इन गुणधर्मों में शामिल हैं:

• गुणांक नियम: $(a^m)\ast (a^n)=a^{(m+n)}$
• शक्ति नियम: $(a^m{)}^n=a^{(}m\ast n)$
• भाग नियम: $(a^m)/(a^n)=a^{(m-n)}$
• शून्य शक्ति: a^0 = 1
• नकारात्मक शक्ति: a^{(-n)} = 1 / a^n

शक्तियों के अनुप्रयोग

शक्तियाँ कई अनुप्रयोगों में उपयोग होती हैं, जिसमें शामिल हैं:

• वैज्ञानिक रूपांतरण: शक्तियाँ बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को एक संक्षिप्त रूप में लिखने के लिए प्रयोग की जाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 602,214,129,000,000,000,000,000 को 6.02214129 * ${10}^{23}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
• प्रतिशत: प्रतिशतों को 10 के शक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5% को $5\ast {10}^{(-2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
• बट्टा ब्याज: बट्टा ब्याज वह ब्याज है जो मूल और पहले ही कमाये गए ब्याज पर कमाया जाता है। बट्टा ब्याज के लिए सूत्र है:

A = P(1 + r/n)^{(nt)}

यहां:

• ए अंतिम राशि होती है
• पी प्रमुख राशि होती है
• आर वार्षिक ब्याज दर होती है
• एन वर्ष में ब्याज की संख्या होती है
• टी वर्षों की संख्या होती है

निष्कर्ष

शक्तियाँ एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण हैं जो बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को प्रतिष्ठानित कर सकती हैं, प्रतिशतों की गणना कर सकती हैं और बट्टा ब्याज की गणना कर सकती हैं.

Exponent और Power के बीच अंतर क्या है

Exponent

• एक गुणितक एक गणितीय प्रतीक है जो यह दर्शाता है कि एक आधार संख्या को अपने आप से कितनी बार गुणा किया जाता है।
• यह आधार संख्या के दाएं ओर एक अधिक चर स्थापित किया जाता है।
• उदाहरण के लिए, $2^3$ का अर्थ होता है 2 को खुद के बार-बार 3 बार गुणा किया जाता है, जो 8 के बराबर होता है।

शक्ति

• शक्ति एक गणितीय संकेत है जो एक संख्या को उस निर्दिष्ट संख्या बार के साथ खुद के द्वारा गुणा करने के परिणाम को संदर्भित करता है।
• यह आधार संख्या और शक्ति का गुणन ज्ञात करता है।
• उदाहरण के लिए, 2 की शक्ति शक्ति 3 है 8 है, जो $2^3$ के बराबर है।

महत्वपूर्ण अंतर

• Exponent और Power के बीच मुख्य अंतर यह है कि Exponent एक गणितीय प्रतीक है जो दर्शाता है कि एक आधार संख्या को अपने आप से कितनी बार गुणा किया जाता है, जबकि Power किसी निर्दिष्ट संख्या बार खुद के द्वारा गुणा किया जाने का परिणाम होता है।

• Exponent एक गणितीय चिन्हन है, जबकि Power एक गणितीय अवधारणा है।

• Exponents सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकते हैं, जबकि Powers केवल सकारात्मक या शून्य हो सकते हैं।

• घातांक (Exponents) गणितीय सम्भावनाओं को सरल रूप में प्रस्तुत करने और बड़े आंकड़ों को संकुचित रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं, जबकि घन गणना (Powers) का प्रयोग किसी संख्या को खुद के द्वारा एक निर्दिष्ट बार गुणित करने के परिणाम की गणना करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण

• $2^3=8$ (2 को खुद के द्वारा 3 बार गुणित)
• $5^2=25$ (5 को खुद के द्वारा 2 बार गुणित)
• ${10}^0=1$ (0 के समान घातांक के लिए कोई भी संख्या 1 के बराबर होती है)
• $2^{-2}=1/4$ (2 का घातांक -2 को 2 के वर्ग से विभाजित किया जाता है)

निष्कर्ष

घातांक और घन गणना दो महत्वपूर्ण गणितीय संक्रमण हैं जो अक्सर एक-दूसरे के साथ इस्तेमाल होते हैं। हालांकि, इन दोनों के बीच एक सूक्ष्म अंतर होता है। घातांक एक गणितीय प्रतीक है जो दर्शाता है कि एक मूल संख्या को खुद के द्वारा कितनी बार गुणित किया जाता है, जबकि घन गणना एक निर्दिष्ट बार एक संख्या को खुद के द्वारा गुणित करने के परिणाम को दर्शाती है।

घातांक के नियम

घातांक के नियम एक सेट हैं जो घातांकों से संबंधित व्यंजनों को सरल और परिवर्तनशील रूप में कैसे सुधारें और संचालित करने के लिए नियमित करते हैं। ये नियम हमें गुणा, भाग, और एक घातांक तक बढ़ाने के एक्सप्रेशंस को आसानी से और दक्षता से कार्य करने की अनुमति देते हैं।

घातांक के नियम

निम्नलिखित हैं घातांक के मौलिक नियम:

1. घातांकों के गुणन का नियम: यदि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $m$ और $n$ सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

2. घातांकों के भाग का नियम: यदि $a$ एक वास्तविक संख्या है और $m$ और $n$ सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\text{जहां}m>n$$

3. घातांक की घातांक का नियम: यदि $a$ एक वास्तविक संख्या है और $m$ और $n$ सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो $$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

4. उद्दांड की अधिकतम की घातांक का नियम: यदि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $m$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो $$(ab{)}^m=a^m{b}^m$$

5. विभाजन की अधिकतम की घातांक का नियम: यदि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, $b\ne 0$, और $m$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो $${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$$

6. शून्य घातांक का नियम: किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए, $$a^0=1,a\ne 0$$

7. नकारात्मक घातांक का नियम: किसी भी वास्तविक संख्या $a$ और सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $$a^{-n}=\frac{1}{a^n},a\ne 0$$

उदाहरण

चलिए कुछ उदाहरण देखें कि कैसे इन नियमों का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण 1: $3^4\cdot 3^2$ को सरल बनाएं।

समाधान: घातांकों के गुणन के नियम का उपयोग करके, हम घातांकों को संयोजित कर सकते हैं: $$3^4\cdot 3^2=3^{4+2}=3^6$$

उदाहरण 2: $\frac{{10}^6}{{10}^3}$ को सरल बनाएं।

समाधान: घातांकों के भाग के नियम का उपयोग करके, हम घातांकों को कटावट कर सकते हैं: $$\frac{{10}^6}{{10}^3}={10}^{6-3}={10}^3$$

उदाहरण 3: $(2^3{)}^4$ को सरल बनाएं।

समाधान: घातांक की घातांक के नियम का उपयोग करके, हम घातांकों को गुणित कर सकते हैं: $$(2^3{)}^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}$$

उदाहरण 4: $(4\cdot 5{)}^3$ को सरल बनाएं।

समाधान: उद्दांड की अधिकतम की घातांक के नियम का उपयोग करके, हम घांटे का अधिकतम का बगीचा लगा सकते हैं: $$(4\cdot 5{)}^3=4^3\cdot 5^3=64\cdot 125=8000$$

उदाहरण 5: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^4$ को सरल बनाएं।

समाधान: विभाजन की अधिकतम की घातांक के नियम का उपयोग करके, हम घातांकों को बाँट सकते हैं:

अंकगणित में, प्रशासक और शक्तियां एक मूलांक के बार बार गुणा करने को प्रतिष्ठित करने के लिए इस्तेमाल की जाती हैं। प्रशासक मूलांक को बताने वाली संकेतक है जो बास संख्या को कितनी बार गुणा करने की बताती है।

प्रशासक और शक्ति के बीच अंतर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रशासक और शक्ति में क्या अंतर है?

• प्रशासक एक अंकगणितीय संकेतक है जो बताता है कि बेस संख्या को कितनी बार खुद से गुणा किया जाता है।
• शक्ति वह परिणाम होता है जो प्रशासक द्वारा निर्दिष्ट संख्या बार बेस संख्या को खुद से गुणा करने के बाद प्राप्त होता है।

प्रशासक और शक्ति कैसे संबंधित हैं?

• एक शक्ति का प्रशासक उस संख्या को दर्शाता है जो बेस संख्या को खुद से कितनी बार गुणा किया जाता है।
• शक्ति वह परिणाम होता है जो प्राप्त होता है जब बेस संख्या को प्रशासक द्वारा निर्दिष्ट संख्या बार खुद से गुणा किया जाता है।

प्रशासक और शक्ति के कुछ उदाहरण क्या हैं?

• $2^3=8$ (2 बेस संख्या है, 3 प्रशासक है, और 8 शक्ति है)
• $5^2=25$ (5 बेस संख्या है, 2 प्रशासक है, और 25 शक्ति है)
• ${10}^1=10$ (10 बेस संख्या है, 1 प्रशासक है, और 10 शक्ति है)

प्रशासक और शक्तियों के नियम क्या हैं?

• दो प्रशासकों को एक ही बेस के साथ गुणा करते समय, प्रशासकों को जोड़ें।
• एक ही बेस के साथ दो प्रशासकों को विभाजित करते समय, प्रशासकों को घटाएँ।
• एक प्रशासक को एक प्रशासक के साथ बदलते समय, प्रशासकों को गुणा करें।
• एक प्रशासक के वास्तविकता को लेने के समय, प्रशासक को वास्तविकता से भाग करें।

प्रशासक और शक्तियों के कुछ उपयोग क्या हैं?

• प्रशासक और शक्तियां बीजगणित, ज्यामिति और कैलकुलस जैसे कई गणितीय क्षेत्रों में इस्तेमाल होती हैं।
• ये भौतिकी, इंजीनियरिंग और अन्य क्षेत्रों में भी इस्तेमाल होती हैं।

निष्कर्ष

प्रशासक और शक्तियां महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाएं हैं जो विभिन्न अनुप्रयोगों में इस्तेमाल होती हैं। प्रशासक और शक्ति के बीच का अंतर समझकर, आप उन्हें कैसे काम करते हैं और समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें कैसे इस्तेमाल कर सकते हैं, यह समझने में सहायता मिलेगी।