साइन्क्स क्या है?

साइन समारोह त्रिकोणमितीय सम्बन्ध कुछ प्रमुख गणितीय और वैज्ञानिक अनुप्रयोगों में एक महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सम्बन्ध है जिसे साइन (x) के रूप में संक्षेप में लिखा जाता है। यह एक त्रिभुज में उल्टे बाहु के लंबाई को नियमित बाहु की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है, जहां x उल्टे बाहु के सामकोनी को प्रतिस्थान करता है।

साइन फ़ंक्शन की गुणधर्म

साइन फ़ंक्शन कई महत्वपूर्ण गुणधर्मों को प्रदर्शित करता है जो इसे विभिन्न गणितीय प्रयोगों में उपयोगी बनाते हैं:

• पेरियोडिकता: साइन फ़ंक्शन 2π की अवधि के साथ आवृत्तिगात है। इसका अर्थ है कि हर वास्तविक संख्या x के लिए sin (x + 2π) = sin (x) होता है।
• परिस्थिति: साइन फ़ंक्शन एक विषम फ़ंक्शन है, जिसका अर्थ है कि sin (-x) = -sin (x) होता है।
• सीमा: साइन फ़ंक्शन की सीमा -1 से 1 तक होती है, अर्थात -1 ≤ sin (x) ≤ 1।
• शून्य: साइन फ़ंक्शन का अनंत संख्या में शून्य हैं x = nπ पर, जहां n कोई पूर्णांक है।

साइन फ़ंक्शन के अनुप्रयोग

साइन फ़ंक्शन का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है, जैसे:

• कलकुलस: साइन फ़ंक्शन कलकुलस में अवकलन, योग, और टेलर श्रृंखला के अध्ययन के लिए आवश्यक होता है।
• भौतिकी: साइन फ़ंक्शन का उपयोग विभिन्न प्रक्रियाओं, जैसे कि साधारित गति में वस्तुओं का आंदोलन और तरंगों के व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: साइन फ़ंक्शन को इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, और अन्य इंजीनियरिंग क्षेत्रों में लागू किया जाता है, जहां आवृत्तिगत गति या ओस्सिलेशन से जुड़े प्रणालियों का विश्लेषण और निर्माण किया जाता है।
• कंप्यूटर ग्राफ़िक्स: साइन फ़ंक्शन का कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में उपयोग किया जाता है ताकि मुलायम वक्र, एनिमेशन, और 3D परिवर्तन उत्पन्न किए जा सकें।
• सिग्नल प्रसंस्करण: सेन प्रसंस्करण में साइन फ़ंक्शन का उपयोग ऑडियो, वीडियो, और अन्य प्रकार के सिग्नलों का विश्लेषण और प्रबंधन करने में किया जाता है।

साइन फ़ंक्शन एक मूलभूत गणितीय उपकरण है जो विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोगों का विरामी फ़ंक्शन है। इसकी पेशकशें, जैसे कि आवृत्तिता, परिस्थिति, और सीमा, इसे एक बहुमुखी फ़ंक्शन बनाती हैं जो आवृत्तिगात प्रकृतियों के मॉडलिंग और विश्लेषण के लिए एकत्र करने के लिए आवश्यक होती हैं। गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, और अन्य वैज्ञानिक विषयों की गहरी समझ प्राप्त करने के लिए साइन फ़ंक्शन की समझ महत्वपूर्ण है।

Sinx का अवकल

sinx का अवकल है cosx। इसे अवकल की परिभाषा के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।

अवकल की परिभाषा का पालन करना

एक फ़ंक्शन f(x) का अवकल f’(x) उस रेखांकन की ढल का सीमा मान है जो f(x) की ग्राफ़ के छल रेखाओं की सेकेंट लाइनों के सीमा के रूप में होता है, जबकि दूसरा बिंदु प्रथम बिंदु की ओर बढ़ता है। अन्य शब्दों में,

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Sinx को परिभाषा के माध्यम से लागू करना

sinx का अवकल ढल की सेकेंट लाइनों की सीमा की ग्राफ़ के लिए सिनक्स को परिभाषा के माध्यम से निर्णय करने के लिए हमें चलते हैं।

लेट $f(x) = \sin x$ हो। इसके बाद,

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

हम साइन के लिए योग-से-उत्पन्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं नकारात्मक अंक के रूप में पूर्वरूप को निर्लेख करके, जैसा कि निम्नलिखित:

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

दिए गए साझा रूप में क्षेत्र के लिए, हमें मिलता है:

$$\sin(x+h) - \sin x = 2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$$

इस अभिव्यक्ति की सरलीकरण, हमें मिलता है:

$$\sin(x+h) - \sin x = 2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$$

इस अभिव्यक्ति को सीमा में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}$$

अब हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि $\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ लिमिट का मूल्यांकन करने के लिए।

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} 2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\lim_{h\to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}$$

$$f’(x) = 2\cos\left(\frac{x+0}{2}\right)\cdot 1 = 2\cos x$$

इसलिए, sinx की अवकलनीय समांतरली वज्री है।

Sinx की अवकलनीय की वज्री द्वारा ग्राफ

sinx की अवकलनीय वज्री द्वारा ज्ञात किया जा सकता हैं:

• sinx के ग्राफ की रेखा के टच लाइन की ढाल खोजें।
• sinx में इनक्रीसिंग और डिक्रीसिंग होने वाले अंतराल की पता लगाएं।
• sinx के अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं।
• sinx को ग्राफ बनाएं।

उदाहरण

sinx के ग्राफ पर x = π/4 पर टच लाइन की ढाल खोजें।

sinx की अवकलनीय वज्री cosx है। इसलिए, sinx के ग्राफ पर x = π/4 पर टच लाइन की ढाल cos(π/4) = √2/2 है।

Sinx की अवकलनीय की वज्री का सूत्र

sinx की अवकलनीय वज्री cosx है। इसे अवकलनीय के सीमा परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अवकलनीय की सीमा की परिभाषा

एक फ़ंक्शन f(x) की अवकलनीय को व्याख्या की जाती है जोतों की ग्राफ की ढाल की सीमा के रूप में जब मूल्यांकन में दूसरी बिंदु पहले बिन्दु की ओर आगे बढ़ता है। इन शब्दों में,

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$$

Sinx में सीमा परिभाषा का उपयोग करना

sinx की अवकलनीय खोजने के लिए, हमें ग्राफ की ढाल की सीमा को मूल्यांकन के रूप में जब मूल्यांकन में दूसरी बिंदु पहले बिन्दु की ओर आगे बढ़ता है की सीमा को मूल्यांकन करने की आवश्यकता होती है।

$f(x) = \sin x$ लेते हैं। तो,

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}.$$

हम अब उस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं जो $\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ के बराबर है ताकि हम सीमा को सरल रूप में लिख सकें:

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} 2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\lim_{h\to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}.$$

पहली सीमा $\cos x$ के बराबर है, और दूसरी सीमा 1 के बराबर है. इसलिए,

$$f’(x) = 2\cos x \cdot 1 = 2\cos x.$$

sinx की अवकलन क्रिया cosx है. इसे व्यक्त करने के लिए निर्धारितक की परिभाषा का उपयोग किया जा सकता है.

पहले नियम के आधार पर Sinx की प्रमाणिता

सिन x की प्रमाणिता नियम के पहले सिद्धांत का उपयोग करके प्रमाणित की जा सकती है. पहला सिद्धांत कहता है कि किसी क्रिया f(x) की निस्पंद क्रिया का निर्धारक क्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है:

$$f’(x) = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

हम इस परिभाषा का उपयोग करके sinx की नियम को ढूंढ सकते हैं.

प्रमाण:

चलो $$f(x) = \sin x$$ मान लें. तो,

$$f(x+h) = \sin (x+h)$$

और

$$f(x) = \sin x$$

तो,

$$f(x+h) - f(x) = \sin (x+h) - \sin x$$

हम सिन के लिए योग-से-गुण के सूत्र का उपयोग करके इसे फिर लिख सकते हैं:

$$f(x+h) - f(x) = 2\cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+h-x}{2}\right)$$

इसे सरल बनाकर, हमें मिलता है:

$$f(x+h) - f(x) = 2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$$

अब, हम इस व्यक्ति की सीमा ले सकते हैं जब h 0 के पास आता है. हमें मिलता है:

$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}$$

हम इस अभिकथान का उपयोग कर सकते हैं जिसका साबित हुआ है कि $\lim\limits_{h\to 0} \cos\left(\frac{x+h}{2}\right) = \cos x$ और $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1$

इस व्यक्ति को सरल बनाने के लिए. हमें मिलता है:

$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \cos x \cdot 1 = \cos x$$

इसलिए, sinx की नियम cosx है.

Derivative of Sinx Proof by the Chain Rule

sin(x) की प्रमाणिता शृंखला तार के द्वारा पायी जा सकती है। तार नियम कहता है कि यदि हमारे पास एक कार्यकारी फ़ंक्शन f(x) = g(h(x)) है, तो x के संबंध में f(x) की प्रमाणिता निम्न रूप में दी जाती है:

$$f’(x) = g’(h(x)) \cdot h’(x)$$

इस मामले में, हमारे पास f(x) = sin(x) और h(x) = x है। इसलिए, g(x) = sin(x) और g’(x) = cos(x) होता है।

तार नियम को इन मानों को व्यक्त करके, हमें मिलता है:

$$f’(x) = cos(x) \cdot 1 = cos(x)$$

इसलिए, sin(x) की प्रमाणिता cos(x) है।

प्रमाण:

आओ $$y = \sin x$$ मान लें

तो, $$u = x$$

तो, $$\frac{dy}{du} = \cos u$$

और, $$\frac{du}{dx} = 1$$

तार नियम के अनुसार, हमारे पास है:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$.

$\frac{dy}{du}$ और $\frac{du}{dx}$ के मानों की जगह पर काम करते हैं:

$$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 1 = \cos x$$

इसलिए, sin(x) की प्रमाणिता cos(x) है।

भाज्य नियम द्वारा Sinx की प्रमाणिता

परिचय इस लेख में, हमें भाज्य नियम का उपयोग करके sin(x) की प्रमाणिता को सिद्ध करना होगा। भाज्य नियम कहता है कि दो फ़ंक्शन $$f(x)$$ और $$g(x)$$ का भाज्य का निर्धारक f(x) के नियमानुसार दिया जाता है:

$$h’(x) = \frac{g(x)f’(x) - f(x)g’(x)}{g(x)^2}$$

प्रमाण

लेट $f(x) = \sin(x)$ और $g(x) = \cos(x)$। तो, $h(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ की व्युत्क्रमणिका निम्नलिखित है:

$$h’(x) = \frac{\cos(x)(\cos(x)) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos(x)^2}$$

इस अभिव्यक्ति को सरलीकृत करने के बाद, हमें मिलता है:

$$h’(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$

क्योंकि $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ होता है, हम इसे आगे सरल कर सकते हैं:

$$h’(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$

इसलिए, $\sin(x)$ की व्युत्क्रमणिका $\frac{1}{\cos^2(x)}$ होती है।

इस लेख में, हमने ब्याजन नियम का उपयोग करके साइन समीकरण की व्युत्क्रमणिका सिद्ध की है। यह सिद्धांत क्योंकि कोटिशन नियम का सीधी लागू है, और यह दिखाता है कि कोटिशन नियम का उपयोग करके अन्य त्रिकोणमितीय समीकरणों की व्युत्क्रमणिका का निर्धारण किया जा सकता है।

LIATE नियम

LIATE नियम एक विज्ञान उपमहाद्योतक की क्रियाओं के आदेश की पहचान करने के लिए एक तरीका है। इसका अर्थ है “Left to Right, Inside to Outside, Exponents Last”।

क्रम

LIATE नियम कहता है कि क्रियाएँ निम्नानुसार संपादित की जानी चाहिए:

1. Left to Right: क्रियाएँ बाईं ओर से दाईं ओर की ओर होनी चाहिए।
2. Inside to Outside: वक्रों में या चारोंटों में क्रियाएँ बाहरी क्रियाओं से पहले होनी चाहिए।
3. Exponents Last: घातांक के बाद क्रियाएँ होनी चाहिए।

उदाहरण

यहां कुछ उदाहरण हैं जिनमें LIATE नियम का अनुपालन किया जाता है:

• उदाहरण 1: 5 + 3 * 2

सबसे पहले, हम परिंजीरसह गुणाकार क्रिया करते हैं 5 + 3 * 2 = 5 + 6

फिर, हम बायां से दाएं की ओर जोड़ने की क्रिया करते हैं: 5 + 6 = 11

• उदाहरण 2: (5 + 3) * 2

सबसे पहले, हम परिंजीरसह नियमों का पालन करते हैं: (5 + 3) * 2 = 8 * 2

फिर, हम गुणाकार क्रिया करते हैं:

8 * 2 = 16

• उदाहरण 3:

$5^2$ + 3 * 2

पहले, हम घातांक क्रिया करते हैं:

$5^2$ + 3 * 2 = 25 + 3 * 2

फिर, हम गुणाकार क्रिया करते हैं:

25 + 3 * 2 = 25 + 6

अंत में, हम जोड़ने की क्रिया करते हैं:

25 + 6 = 31

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LIATE नियम एक सरल और आसान याद करने योग्य तरीका है जिससे गणितीय अभिव्यक्तियों में क्रियाएँ क्रमशः किया जा सकता है। LIATE नियम का पालन करके, आप सुनिश्चित कर सकते हैं कि आप सही क्रम में क्रियाएँ कर रहे हैं और सही परिणाम प्राप्त कर रहे हैं।

Sinx के नितंबी व्युत्क्रमणिका

Sinx की नितंबी व्युत्क्रमणिका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

$$f^{(n)} (x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$$

यहां:

• $f^{(n)} (x)$ sinx की n वाली नितंबी व्युत्क्रमणिका है।
• n एक सकारात्मक पूर्णांक है।

सिद्धांत:

हम यह सूत्र माध्यम से इंद्रियात्मक प्रमाण कर सकते हैं।

मूल मामला:

जब n = 1 हो, तो sinx का पहला व्युत्क्रमणिका cosx होता है, जो $\sin(x + \frac{\pi}{2})$ के बराबर होता है।

आनुवांशिक अनुपात:

आदान करें कि कुछ सकारात्मक पूर्णांक $k$ के लिए सूत्र सत्य है $f^{(k)} (x) = \sin(x + \frac{k\pi}{2})$।

आनुवांशिक कदम:

हमें दिखाना होगा कि $k + 1$ के लिए सूत्र भी सत्य है। अर्थात्, हमें यह दिखाना होगा कि $f^{(k + 1)} (x) = \sin(x + \frac{(k + 1)\pi}{2})$।

चेन नियम का उपयोग करके, हमें मिलता है:

$$f’(x) = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \frac{d}{dx} (x^2) = 2x\cos(x^2).$$

चेन के नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$f’(x) = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \frac{d}{dx} (x^2) = 2x\cos(x^2).$$

साइन एक्स की महत्वपूर्ण प्रश्नों का अवरक्तक

साइन एक्स का अवरक्तक क्या होता है?

साइन एक्स का अवरक्तक है कॉस एक्स। इसका अर्थ है कि साइन एक्स की द्रिश्यमानता एक्स के संबंध में कॉस एक्स होती है।

साइन एक्स का अवरक्तक कैसे ढूंढें?

साइन एक्स का अवरक्तक ढूंढने के लिए कुछ तरीके हो सकते हैं। उपयोग होने वाली एक तरीका अवरक्तक की परिभाषा का उपयोग करना है। एक फ़ंक्शन f(x) का अवरक्तक नीचे दिए गए अंतर भाग के सीमा के रूप में परिभाषित होता है जब h 0 के नजदीक आता है:

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

इस परिभाषा का उपयोग करके, हम साइन एक्स का अवरक्तक निम्नलिखित तरीके से ढूंढ सकते हैं:

$$\sin’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$$

हम साइन के लिए योग तकनीक का उपयोग करके इस अभिसंख्या के लिए पूरकभाग को सरल बना सकते हैं:

$$\sin(x+h) - \sin(x) = 2\cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+h-x}{2}\right)$$

इसे अंतर भाग में सदिश करते हुए, हमें मिलता है:

$$\sin’(x) = \lim_{h\to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}$$

अब हम इस अभिसंख्या को आगे सरल करने के लिए इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि $$\lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$$

इसे और सरल करते हैं:

$$\sin’(x) = \lim_{h\to 0} 2\cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right)\cdot 1$$

क्योंकि $$\lim_{h\to 0} \cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right) = \cos(x)$$

हमें मिलता है:

$$\sin’(x) = 2\cos(x)$$

तार्किक माप में साइन एक्स का अवरक्तक क्या है?

तार्किक माप में साइन एक्स का अवरक्तक भी कॉस एक्स है। इसलिए, एक्स का गणक माप विकर्णों में साइन एक्स का अवरक्तक है:

$$\sin’(x) = \frac{d}{dx} \sin(x\cdot \frac{180}{\pi}) = \cos(x\cdot \frac{180}{\pi}) \cdot \frac{180}{\pi} = \cos(x)$$

साइन एक्स का य नाम से अवरक्तक क्या है?

एक्स के संबंध में साइन एक्स का य नाम से अवरक्तक 0 है। इसलिए, साइन एक्स के य नाम से अवरक्तक है:

$$\frac{d}{dy} \sin(x) = 0$$

$sin(x^2)$ का अवरक्तक क्या है?

$sin(x^2)$ का अवरक्तक $2x\hspace{1mm}cos(x^2)$ है। इसे चेन के नियम का उपयोग करके ढूंढ़ा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि एक संयुक्त फ़ंक्शन का अवरक्तक व्यक्तिगत फ़ंक्शनों के अवरक्तकों का गुण होता है। इस मामले में, बाहरी फ़ंक्शन sin(u) है और आंतरिक फ़ंक्शन $u = x^2$ है। इसलिए, $sin(x^2)$ का अवरक्तक है:

$$\frac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx} x^2 = 2x \cos(x^2)$$

$sin(x) + cos(x)$ का अवरक्तक क्या है?

साइन(x) + कॉस(x) का मानवक अवतंत्र, जो नियम का प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जो कि कहता है कि फ़ंक्शनों के योग का मानवक अवतंत्र व्यक्तिगत फ़ंक्शनों के मानवक अवतंत्रों का योग रहता है। इस मामले में, दो फ़ंक्शन साइन(x) और कॉस(x) हैं। इसलिए, साइन(x) + कॉस(x) का मानवक अवतंत्र है:

$$\frac{d}{dx} (\sin(x) + \cos(x)) = \frac{d}{dx} \sin(x) + \frac{d}{dx} \cos(x) = \cos(x) - \sin(x)$$