पूर्ण करने हेतु चरण

अगर चरण 1. $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ के लिए, $x^2 + 2x - \frac{5}{2} = 0$ दिए जाते हैं।

यदि चरण 2. $-\frac{5}{2}$ को समीकरण की ओर ले जाएँ। इससे हमें $x^2 + 2x = \frac{5}{2}$ मिलेगा।

यदि, चरण 3. $x$ के द्विघात का आधा ले और इसका वर्ग लें। इससे हमें $(\frac{2}{2})^2 = 1$ मिलता है।

यदि, चरण 4. इसे समीकरण की दोनों तरफ जोड़ें। इससे हमें $x^2 + 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$ मिलता है।

यदि, चरण 5. समीकरण की बाएं ओर कोट जाँचें। इससे हमें $(x + 1)^2 = \frac{7}{2}$ मिलेगा।

यदि, चरण 6. समीकरण की दोनों तरफ का वर्गमूल लें। इससे हमें $x + 1 = \pm\sqrt{\frac{7}{2}}$ मिलता है।

यदि, चरण 7. $x$ के लिए समाधान निकालें। इससे हमें $x = -1 \pm\sqrt{\frac{7}{2}}$ मिलता है।

इसलिए, द्विघाती समीकरण $2x^2 + 4x - 5 = 0$ के समाधान $x = -1 + \sqrt{\frac{7}{2}}$ और $x = -1 - \sqrt{\frac{7}{2}}$ होते हैं।

पूर्ण करने का समीकरण

पूर्ण करने का समीकरण एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग द्विपदी समीकरणों को हल करने और इसके समाधान की खोज करने के लिए किया जाता है। इसमें समीकरण को एक ऐसे रूप में संशोधित किया जाता है जो समीकरण के समाधान, या रूट, को खोजने में आसान बनाता है।

पूर्ण करने का समीकरण के लिए इन चरणों का पालन करें:

चरण 1. समीकरण के $x^2$ के संकेतक से दोनों ओर समीकरण को विभाजित करें। इससे हमें एक समीकरण मिलेगा जो $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ के रूप में होगा।

2. समीकरण के प्रतिष्ठान को सामान्य मान $\frac{c}{a}$ दोसरी ओर ले जाएं यह आपको समीकरण को निम्नलिखित रूप में देगा $$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$।

3. $x$ के समकोण का आधा ले, इसे वर्ग लगाएं और समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें इससे हमें निम्नलिखित रूप में समीकरण मिलेगा $$(x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$।

4. समीकरण के दाईं ओर को सरल करें इससे हमें निम्नलिखित रूप में समीकरण मिलेगा $$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$।

5. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल ले इससे हमें निम्नलिखित रूप में दो समीकरण मिलेंगे $$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$$।

6. प्रत्येक समीकरण को $x$ के लिए हल करें यह हमें द्विघातीय समीकरण के दो समाधान या निर्धार देगा।

उदाहरण

पूरा करने के चरणों की व्याख्या करने के लिए, चलिए समाधान करते हैं द्विघातीय समीकरण $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$।

1. समीकरण को 2 से भाग करें हमें यह मिलेगा $$x^2 + 2x - \frac{5}{2} = 0$$।

2. समीकरण के समान्य मान $-5/2$ को सामान्य मान के दूसरे पक्ष में ले जाएं हमें यह मिलेगा $$x^2 + 2x = \frac{5}{2}$$।

3. $x$ के समकोण का आधा ले, इसे वर्ग लगाएं और समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें हमें यह मिलेगा $$(x + 1)^2 = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$$।

4. समीकरण के दायीं ओर को सरल करें हमें यह मिलेगा $$(x + 1)^2 = \frac{7}{2}$$।

5. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल ले हमें यह मिलेगा $$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$$।

6. प्रत्येक समीकरण को $x$ के लिए हल करें हमें यह मिलेगा $$x = -1 \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$$।

इसलिए, द्विघातीय समीकरण $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$ के समाधान $$x = -1 + \sqrt{\frac{7}{2}}$$ और $$x = -1 - \sqrt{\frac{7}{2}}$$ हैं।

पूर्ण करके द्विघातीय समीकरणों को समाधान करने के चरण

द्विघातीय समीकरण हैं $ax^2 + bx + c = 0$, जहां $a$, $b$ और $c$ वास्तविक संख्याएं हैं और $a \neq 0$।

पूर्ण

1. समीपदांश को समीपदांश के विपरीत ओर ले जाएं।

$$x^2 - 4x = 5$$

2. दोनों ओरों को $x^2$ के संकलन के साथ विभाजित करें।

$$x^2 - 4x = 5$$

3. $x$ के संकलन के आधा कोईफिशियंट के वर्ग को दोनों ओरों में जोड़ें।

$$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$$

4. समीपदांश का बदलाव करें।

$$(x - 2)^2 = 9$$

5. दोनों ओरों का वर्गमूल लें।

$$x - 2 = \pm \sqrt{9}$$

6. $x$ के लिए समाधान निकालें।

$$x = 2 \pm 3$$

इसलिए, समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के समाधान $x = 5$ और $x = -1$ हैं।

सम्पूर्ण करने के नियम के ज्योमिट्रीय व्याख्यान

सम्पूर्ण करने के नियम, वर्गीय समीकरणों को हल करने के लिए एक तकनीक है। इसमें हम समीकरण में एक स्थिर मान को जोड़कर उसे सही समय में परिणामक वर्ग बनाने के लिए इसे परिवर्तित करते हैं। इस ज्योमिट्रीय व्याख्या में प्रक्रिया का एक द्रष्टांतिक रूपांतरण उपलब्ध किया गया है जो प्रक्रिया की गतिशीलता को समझने में मदद करता है।

महत्वपूर्ण अवधारणाएं:

• अपवाद: अपवाद एक उ के आकारवाली काल को कहा जाता है जिसे समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। अपवाद का मुख्यामंत्री एक बिन्दु है जहां यह दिशा बदलता है।

• अपवाद रूप: वर्गीय समीकरण का अपवाद रूप माध्यम से $y = a(x - h)^2 + k$ दिया जाता है, जहां $(h, k)$ अपवाद की आवधारणाओं हैं।

ज्योमिट्रीय व्याख्या:

1. आरंभिक बिंदु: $y = ax^2 + bx + c$ रूप की वर्गीय समीकरण का आरेख एक अपवाद होता है।

2. अपवाद को स्थानांतरित करना: सम्पूर्ण करने के लिए, हम समीकरण में एक स्थिर मान $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ को जोड़ते और घटाते हैं। इससे बिन्दुगत मान आकृति को होरिजन्टल बिना उसके आकार को बदले बदलता है।

3. एक सही समय वर्ग बनाना: जोड़े गए मान $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ यह सुनिश्चित करते हैं कि ब्रैकेट में दिए गए अभिव्यक्ति पूर्ण वर्ग बन जाता है। यह नया समीकरण, $y = a(x - h)^2 + k$ को बनता है।

4. अपवाद: अपवाद $(h, k)$ अपवाद का बिंदु होता है जो आकार के ग्राफ का न्यूनतम या अधिकतम बिंदु दर्शाता है। $h$ की मान $-\frac{b}{2a}$ द्वारा दी जाती है, और $k$ की मान परिवर्तित समीकरण में $h$ का प्रयोग करके निर्धारित की जाती है।

5. सममाध्यरेखा: समीकरण $x = h$ परिवर्ता के लिए महत्वपूर्ण होती है। इसे अपवाद को दो आदर्शरूपों में विभाजित करता है।

उदाहरण:

वर्गीय समीकरण $y = x^2 + 4x - 5$ का विचार करें।

1. आरंभिक बिंदु: इस समीकरण का आरेख एक अपवाद है।

2. अपवाद को स्थानांतरित करना: सम्पूर्ण करने के लिए, हम $\left(\frac{4}{2\cdot1}\right)^2 = 4$ जोड़कर और घटाकर समीकरण में इसे जोड़ते हैं।

$$y = x^2 + 4x - 5 + 4 - 4$$

$$y = x^2 + 4x + 4 - 9$$

3. एक सही समय वर्ग बनाना: आवधारणा के भीतर का अभिव्यक्ति अब एक पूर्ण वर्ग है: $(x + 2)^2$।

$$y = (x + 2)^2 - 9$$

4. अपवाद: अपवाद का बिंदु $(-2, -9)$ है।

5. समरेखा का प्रेरक लक्ष्य: समरेखा का प्रेरक रेखा $x = -2$ है।

निष्कर्ष:

तकरीबन गोलाकार समीकरण पूरा करने की विधि की ज्यामितिय व्याख्या एक पूर्ण वर्ग मे एक प्रक्रिया द्वारा कैसे बदलती है। गार्धिक रूप से पराबोला को सामरिक रूप से स्थानांतरित करके और एक पूर्ण वर्ग बनाकर हम पराबोला के संधि बिन्दु और ध्रुव सम को आसानी से पहचान सकते हैं, जो द्विघातीय समीकरणों को हल करने और उनके व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण होते हैं।

द्विघातीय समीकरणों में पूर्ण करने की विधि का महत्त्व

पूरा करने की विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग द्विघातीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसमें एक द्विघातीय समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में बदलना शामिल होता है, जिससे समीकरण के समाधान या जड़ को ढूंढना आसान होता है। यह विधि खासकर उन द्विघातीय समीकरणों के साथ उपयोगी होता है जिन्हें अन्य तकनीकों जैसे फैक्टर करना या द्विघातीय सूत्र का उपयोग करना सरलतापूर्वक हल नहीं किया जा सकता है।

पूर्ण करने की विधि में शामिल पदावन्तरण

1. समीकरण के अच्छल पद को समीकरण के दूसरे तरफ ले जाएं:

   • पहले अच्छल पद (एक संख्या जिसमें कोई प्रतीक नहीं है) को समीकरण के दूसरे तरफ ले जाना शुरू करें। इससे प्रतिबिंब पद (वर्गीकृत प्रतीक के साथ पद) एक ही तरफ में होगा।

2. समीकरण के द्विघातीय पद के गुणनांक से दोनों तरफ समीकरण विभाजित करें:

   • समीकरण के द्विघातीय पद के गुणनांक से दोनों तरफ समीकरण विभाजित करें। इससे द्विघातीय पद के गुणनांक को 1 के बराबर बना देंगे।

3. आधिकारिक पद के समानांक के आधा को समीकरण के दोनों तरफ जोड़ें:

   • आधिकारिक पद के समानांक का आधा खोजें (प्रतीक के बिना पद के साथ होने वाला पद)।
   • इस मान का वर्ग निकलें और इसे समीकरण के दोनों तरफ जोड़ें।

4. समीकरण का बायां भाग फैक्टर करें:

   • समीकरण का बायां भाग अब एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। इसे $(x + a)^2$ रूप में फैक्टर करें।

5. फैक्टर किए गए अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर ठहराएं और x के लिए समाधान करें:

   • फैक्टर किए गए अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर ठहराएं और चर x के लिए समाधान करें। इससे आपको द्विघातीय समीकरण के समाधान या जड़ मिलेंगे।

पूर्ण करने की विधि के लाभ

• सरलता: पूर्ण करने की विधि को समझना और लागू करना अपेक्षाकृत सरल होता है, जिससे यह सभी स्तर के छात्रों के लिए सुलभ होता है।

• व्यापकता: यह विधि फैक्टरिंग या द्विघातीय सूत्र के उपयोग से सरलतापूर्वक हल नहीं किए जा सकने वाले विभिन्न द्विघातीय समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी हो सकती है।

• यथार्थता: पूर्ण करने की विधि द्विघातीय समीकरणों के यथार्थ समाधान प्रदान करती है, जो अन्य विधियों के साथ हो सकने वाले अनुमानित परिणामों से बचाती है।

• ज्यामितिय व्याख्या: इस विधि द्विघातीय समीकरणों की ज्यामितिय व्याख्या प्रदान करती है, जिससे छात्र उसे एक ग्राफ पर बिंदुओं के रूप में देख सकते हैं।

पूरा करने वाली विधि (Completing the square method) बाईज्यट्राईज्यिक समीकरणों को हल करने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक है। इसकी सरलता, व्यापक उपयोगिता, सटीकता और ज्यामितिक व्याख्या इसे छात्रों और गणितज्ञों के लिए एक मूल्यवान उपकरण बनाती है। इस विधि को समझकर और मास्टर करके, व्यक्ति विभिन्न बाईज्यट्राईज्यिक समीकरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं और उनके व्यवहार और गुणों की गहन समझ प्राप्त कर सकते हैं।

पूरा करने वाली विधि के हल किए गए उदाहरण

पूरा करने वाली विधि एक तकनीक है जो बाईज्यात्मक समीकरण को फॉर्म $ax^2 + bx + c = 0$ से $(x - h)^2 = k$ में पुनर्लेखित करने के लिए उपयोग की जाती है। इसे बाईज्यात्मक समीकरणों को हल करने, पराबोला को ग्राफ़ करने और पराबोला के वर्टेक्स को ढूंढने में सहायक साबित हो सकता है।

उदाहरण 1: एक बाईज्यात्मक समीकरण को हल करने के लिए पूरा करने वाली विधि

बाईज्यात्मक समीकरण $x^2 + 4x - 5 = 0$ को हल करें।

हल:

1. $x$ के अनुक्रमिक के आधा के वर्ग को जोड़ें और कटाएं, जो $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$ होता है।

$$x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = 0$$

2. समीकरण के बाईं ओर को संकलित करें।

$$(x + 2)^2 - 9 = 0$$

3. समीकरण के दोनों ओर 9 को जोड़ें।

$$(x + 2)^2 = 9$$

4. समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें।

$$x + 2 = \pm 3$$

5. $x$ के लिए हल करें।

$$x = -2 \pm 3$$

इसलिए, बाईज्यात्मक समीकरण $x^2 + 4x - 5 = 0$ के समाधान $x = -5$ और $x = 1$ हैं।

उदाहरण 2: एक पराबोला को ग्राफ़ करने के लिए पूरा करने वाली विधि

पराबोला $y = x^2 + 4x - 5$ को ग्राफ़ करें।

हल:

1. समीकरण को $(x - h)^2 = k$ रूप में पुनर्लेखित करने के लिए पूरा करें।

$$y = x^2 + 4x - 5$$

$$y = x^2 + 4x + 4 - 4 - 5$$

$$y = (x + 2)^2 - 9$$

2. पराबोला के वर्टेक्स को निश्चित करें, जो $(h, k) = (-2, -9)$ होता है।

3. ट्रेज़ कर्डिनेट समतल पर वर्टेक्स को चित्रित करें।

4. $k$ के मान का उपयोग करके वर्टेक्स और $x$-अक्ष के बीच की दूरी तय करें। इस मामले में, दूरी 9 इकाई है।

5. पराबोला ड्रा करें, जिसमें वर्टेक्स से होकर गुणात्मक और $x$-अक्ष के बारे में सममित होने वाली एक स्मूथ कर्व खींची जाती है।

पराबोला $y = x^2 + 4x - 5$ का ग्राफ़ नीचे दिखाया गया है।

[पराबोला की तस्वीर]

उदाहरण 3: पराबोला के वर्टेक्स को ढूंढने के लिए पूरा करने वाली विधि

पराबोला $y = x^2 + 4x - 5$ का वर्टेक्स ढूंढें।

हल:

1. समीकरण को $(x - h)^2 = k$ रूप में पुनर्लेखित करने के लिए पूरा करें।

$$y = x^2 + 4x - 5$$

$$y = x^2 + 4x + 4 - 4 - 5$$

$$y = (x + 2)^2 - 9$$

2. पराबोला के वर्टेक्स को निश्चित करें, जो $(h, k) = (-2, -9)$ होता है।

इसलिए, पराबोला $y = x^2 + 4x - 5$ का वर्टेक्स $(-2, -9)$ है।

पूरा करने वाली विधि से संबंधित पूछे जाने वाले सवाल

पूरा करने वाली विधि क्या होती है?

पूरा करने वाली विधि एक गणितीय तकनीक है जो एक द्विघातीय समीकरण को परफ़ेक्ट स्क्वायर में रूपांतरित करने के लिए उपयोग की जाती है। यह गणितीय समीकरण को अज्ञात मान के लिए आसानी से हल करने में मदद करता है।

पूरा करने वाली विधि कब उपयोगी होती है?

पूरा करने वाली विधि तब उपयोगी होती है जब आपको ऐसे द्विघातीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता हो जो किसी अन्य तरीके से आसानी से हल नहीं किया जा सकता है, जैसे कि फैक्टरिंग या द्विघाती सारणी का उपयोग करने के द्वारा।

पूरा करने वाली विधि कैसे करें?

To complete the square, you follow these steps:

1. Move the constant term to the other side of the equation.
2. Divide both sides of the equation by the coefficient of the squared term.
3. Add the square of half the coefficient of the linear term to both sides of the equation.
4. Factor the left side of the equation into a perfect square.
5. Take the square root of both sides of the equation.
6. Solve for the unknown variable.

Here are some examples of completing the square:

Example 1:

Solve the equation $x^2 + 4x - 5 = 0$.

Solution:

1. Move the constant term to the other side of the equation:

$$x^2 + 4x = 5$$

2. Divide both sides of the equation by the coefficient of the squared term:

$$x^2 + 4x = 5$$

$$x^2 + 4x = 5$$

3. Add the square of half the coefficient of the linear term to both sides of the equation:

$$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$$

$$x^2 + 4x + 4 = 9$$

4. Factor the left side of the equation into a perfect square:

$$(x + 2)^2 = 9$$

5. Take the square root of both sides of the equation:

$$\sqrt{(x + 2)^2} = \sqrt{9}$$

$$x + 2 = \pm 3$$

6. Solve for the unknown variable:

$$x = -2 \pm 3$$

$$x = -5 \text{ or } x = 1$$

Example 2:

Solve the equation $2x^2 - 3x - 1 = 0$.

Solution:

1. Move the constant term to the other side of the equation:

$$2x^2 - 3x = 1$$

2. Divide both sides of the equation by the coefficient of the squared term:

$$\frac{2x^2}{2} - \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$$

$$x^2 - \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$$

3. Add the square of half the coefficient of the linear term to both sides of the equation:

$$x^2 - \frac{3x}{2} + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$$

$$x^2 - \frac{3x}{2} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$$

4. Factor the left side of the equation into a perfect square:

$$\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$$

5. Take the square root of both sides of the equation:

$$\sqrt{\left(x - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}}$$

$$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}$$

6. Solve for the unknown variable:

$$x = \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4}$$

$$x = \frac{8}{4} \text{ or } x = -\frac{2}{4}$$

$$x = 2 \text{ or } x = -\frac{1}{2}$$