ही मामले में एक साथी बिन्दु

साथी बिन्दुएं वह बिन्दु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। ज्यामिति में, यदि तीन या उससे अधिक बिंदु एक ही रेखा पर स्थित होते हैं तो उसे साथी कहा जाता है।

साथी बिन्दुओं की गुणधर्म

• किसी भी दो साथी बिन्दुओं के बीच की दूरी उनके बीची गई बिंदु और प्रत्येक बिंदु के बीच की दूरियों का समांतर संयोजन होता है।
• किसी भी दो साथी बिन्दुओं की प्रमध्य भी उनके साथी है।
• यदि तीन बिन्दु साथी हैं, तो उन्होंने उत्पन्न किए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
• यदि चार बिन्दु साथी हैं, तो विपरीत कोणों का योग है 180 डिग्री।

साथी बिन्दुओं के अनुप्रयोग

साथी बिन्दुएँ कई अनुप्रयोगों में उपयोग होती हैं, जिनमें शामिल हैं:

• सर्वेक्षण: सर्वेक्षण के उद्देश्यों के लिए सीधी रेखाओं की स्थापिति के लिए साथी बिन्दुएं उपयोग की जाती हैं।
• निर्माण: निर्माण के दौरान वस्तुओं को साथी करने के लिए साथी बिन्दुएं उपयोग की जाती हैं।
• इंजीनियरिंग: योजना और संरचनाओं का निर्माण करने के लिए साथी बिन्दुएं उपयोग की जाती हैं।
• कंप्यूटर ग्राफ़िक्स: कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में रेखाएं और अन्य आकृतियों को बनाने के लिए साथी बिन्दुएं उपयोग की जाती हैं।

साथी बिन्दुओं के उदाहरण

वास्तविक दुनिया में साथी बिन्दुओं के कई उदाहरण हैं। कुछ उदाहरण हैं:

• त्रिभुज के संकेतबिंदु साथी होते हैं।
• रेखांश के बिंदु साथी होते हैं।
• रे के बिंदु साथी होते हैं।
• यदि एक ही रेखा पर स्थित होते हैं, तो यदि यदि यदि यदि उन पर स्थित बिंदु साथी होते हैं।

साथी बिन्दुएं ज्यामिति में एक मूल अवधारणा हैं। ये वास्तविक दुनिया में विभिन्न गुणधर्म और उपयोग हैं।

साथी बिन्दुओं को खोजने के विधियां

साथी बिन्दुएं एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। बिंदुओं की एक समूह में साथी बिन्दुओं को खोजने के कई विधियां हैं। यहां कुछ सामान्य विधियां हैं:

1. ढाल विधि

ढाल विधि एक सरल और कुशल तरीका है साथी बिन्दुओं को खोजने का। इसमें प्रत्येक बिंदु के माध्यम से जाने वाली रेखा की ढाल की गणना की जाती है और यह चेक किया जाता है कि क्या ढाल एक समान है। यदि ढाल समान होती है, तो बिंदु साथी होते हैं।

चरण:

1. फ़ॉर्म्यूला का उपयोग करके प्रत्येक बिंदु के माध्यम से जाने वाली रेखा की ढाल की गणना करें:

   $$ढाल = (y2 - y1) / (x2 - x1)$$

   यहां (x1, y1) और (x2, y2) दो बिंदुओं के संदर्भ हैं।

2. चेक करें कि क्या ढाल समान है। यदि ढाल समान होती है, तो बिंदु साथी होते हैं।

उदाहरण:

निम्नलिखित बिंदु के सेट के बारे में सोचें:

(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)

साथी बिन्दुओं को खोजने के लिए, हम प्रत्येक बिन्दु के माध्यम से जाने वाली रेखा की ढाल की गणना करते हैं:

ढाल1 = (4 - 2) / (3 - 1) = 1 ढाल2 = (6 - 4) / (5 - 3) = 1 ढाल3 = (8 - 6) / (7 - 5) = 1

सभी ढाल समान होने के कारण, बिन्दु साथी होते हैं।

2. क्रॉस-उत्पादन विधि

क्रॉस-उत्पादन विधि एक और तरीका है साथी बिन्दुओं को खोजने का। इसमें प्रत्येक बिंदु जोड़ने वाले वेक्टर क्रॉस-उत्पादन की गणना की जाती है और यह जांचा जाता है कि क्या क्रॉस-उत्पादन शून्य है। यदि क्रॉस-उत्पादन शून्य होता है, तो बिंदु साथी होते हैं।

चरण:

1. क्षेत्रीय-गुणन: प्रत्येक दो बिंदुओं द्वारा गठित वेक्टरों का क्षेत्रीय-गुणन निर्णय करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

$$क्षेत्रीय-गुणन = (x2 - x1) * (y2 - y1) - (y2 - y1) * (x2 - x1)$$

जहां (x1, y1) और (x2, y2) दो बिंदुओं के संयोजन हैं।

2. देखें कि क्षेत्रीय-गुणन शून्य हैं या नहीं। यदि क्षेत्रीय-गुणन शून्य हैं, तो बिंदु समरेखाग्र हैं।

उदाहरण:

निम्नलिखित बिंदु समूह को ध्यान में रखें:

(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)

बिंदु समरेखाओं का क्षेत्रीय-गुणन निर्णय करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु समूह द्वारा गठित वेक्टरों का क्षेत्रीय-गुणन का निर्णय करते हैं:

क्षेत्रीय-गुणन1 = (3 - 1) * (4 - 2) - (4 - 2) * (3 - 1) = 0 क्षेत्रीय-गुणन2 = (5 - 3) * (6 - 4) - (6 - 4) * (5 - 3) = 0 क्षेत्रीय-गुणन3 = (7 - 5) * (8 - 6) - (8 - 6) * (7 - 5) = 0

सभी क्षेत्रीय-गुणन शून्य होने के कारण, बिंदु समरेखाग्र हैं।

3. द्विघातक विधि

द्विघातक विधि एक सेट के बिंदुओं में बिंदु समरेखा ढूंढने के लिए एक और सामान्य विधि है। यह बिंदुओं के संयोजनों के मानों के माध्यम से एक मैट्रिक्स के द्वारा घटाव की गणना करने का काम करती है। अगर घटाव शून्य है, तो बिंदु समरेखा है।

चरण:

1. मानों के संयोजनों को पंक्तियों के रूप में व्यवस्थित करके एक मैट्रिक्स A बनाएँ:

   $$A = [[x1, y1, 1], [x2, y2, 1], [x3, y3, 1], …]$$

2. मैट्रिक्स A का घटाव गणना करें।

3. देखें कि घटाव शून्य है या नहीं। यदि घटाव शून्य है, तो बिंदु समरेखा है।

उदाहरण:

निम्नलिखित बिंदु समूह को ध्यान में रखें:

(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)

बिंदु समरेखा ढूंढने के लिए, हम मैट्रिक्स A बनाते हैं:

$$A = [[1, 2, 1], [3, 4, 1], [5, 6, 1], [7, 8, 1]]$$

मैट्रिक्स A का घटाव है:

$det(A) = (1 * (4 * 1 - 6 * 1) - 2 * (3 * 1 - 5 * 1) + 1 * (3 * 6 - 4 * 5)) = 0$

घटाव शून्य होने के कारण, बिंदु समरेखा है।

निष्कर्ष

ये कुछ सामान्य विधियाँ हैं जो एक सेट के बिंदुओं में बिंदु समरेखा ढूंढने के लिए काम आती हैं। विधि की चुनाव विशिष्ट समस्या और उपलब्ध जानकारी पर निर्भर करता है।

बिंदु समरेखा और गैर-बिंदु समरेखा बिंदु के बीच अंतर

बिंदु समरेखा

• बिंदु समरेखा वे बिंदु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
• उन्हें colinear points भी कहा जाता है।
• शब्द “बिंदु समरेखा” लैटिन शब्दों “com” (का अर्थ “सह”) और “linearis” (का अर्थ “रेखा”) से आता है।
• बिंदु समरेखा को एकल समीकरण y = mx + b की रूप में प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जहां m रेखा की संक्लान है और b y-अंतर्विंश है।

गैर-बिंदु समरेखा

• गैर-बिंदु समरेखा वे बिंदु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं।
• उन्हें non-colinear points भी कहा जाता है।
• शब्द “गैर-बिंदु समरेखा” लैटिन शब्दों “non” (का अर्थ “नहीं”) और “linearis” (का अर्थ “रेखा”) से आता है।
• गैर-बिंदु समरेखा को y = mx + b की एकल समीकरण रूप में प्रतिष्ठित नहीं किया जा सकता है।

बिंदु समरेखा और गैर-बिंदु समरेखा के उदाहरण

• बिंदु समरेखा:

  • बिंदु (1, 2), (3, 4) और (5, 6) बिंदु समरेखा हैं क्योंकि वे रेखा y = x + 1 पर स्थित हैं।

• गैर-बिंदु समरेखा:

• बिंदु (1, 2), (3, 4), और (5, 7) संरेखात्मक नहीं हैं क्योंकि वे एक ही सीधी रेखा पर नहीं पड़ते।

संरेखात्मक और गैर-संरेखात्मक बिंदुओं के अनुप्रयोग

• इन्हे मिलाकर एकदिशीय बिंदु इस्तेमाल किये जाते हैं विभिन्न अनुप्रयोगों में, जैसे:
  • सर्वेक्षण
  • नेविगेशन
  • इंजीनियरिंग
  • वास्तुकला
• गैर-संरेखात्मक बिंदुओं का भी विभिन्न अनुप्रयोग होता है, जैसे:
  • कंप्यूटर ग्राफ़िक्स
  • रोबोटिक्स
  • वर्चुअल रियालिटी
  • ऑग्मेंटेड रियालिटी

संरेखात्मक और गैर-संरेखात्मक बिंदुओं को भौतिकी में दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं के रूप में चित्रित किया जाता है। वे सर्वेक्षण, नेविगेशन, इंजीनियरिंग, वास्तुकला, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, रोबोटिक्स, वर्चुअल रियालिटी और ऑग्मेंटेड रियालिटी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में बहुत सारे अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं।

संरेखात्मक बिंदु बनाम समस्ततः समचित्री बिंदु

संरेखात्मक बिंदु

• परिभाषा: संरेखात्मक बिंदु वे बिंदु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर पड़ते हैं।
• गुण:
  • संरेखात्मक बिंदु दोनों दिशाओं में अनंतता सबयुग्म हो सकते हैं।
  • संरेखात्मक बिंदुओं के बीच की दूरी बिंदुओं और रेखा पर किसी अन्य बिंदु के बीच की दूरी के योग के समान होती है।
  • संरेखात्मक बिंदुओं के बीच का कोण 0 डिग्री होता है।
• उदाहरण:
  • बिंदु (1, 2), (3, 4), और (5, 6) संरेखात्मक हैं।
  • बिंदु (0, 0), (1, 1), और (2, 2) संरेखात्मक हैं।
  • बिंदु (1, 0), (0, 1), और (1, 1) संरेखात्मक नहीं हैं।

समस्ततः समतलीय बिंदु

• परिभाषा: समस्ततः समचित्री बिंदु वे बिंदु हैं जो एक ही समतल में स्थित होते हैं।
• गुण:
  • समस्ततः समतलीय बिंदुओं को समतल के भीतर किसी भी दिशा में अनंतता बढ़ायी जा सकती है।
  • समस्ततः समतलीय बिंदुओं के बीच की दूरी समतल में बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी होती है।
  • समस्ततः समतलीय बिंदुओं के बीच का कोण समतल में बिंदुओं को किसी भी अन्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं द्वारा गठित कोण होता है।
• उदाहरण:
  • बिंदु (1, 2, 3), (4, 5, 6), और (7, 8, 9) समस्ततः समतलीय हैं।
  • बिंदु (0, 0, 0), (1, 1, 1), और (2, 2, 2) समस्ततः समतलीय हैं।
  • बिंदु (1, 0, 0), (0, 1, 0), और (0, 0, 1) समस्ततः समतलीय नहीं हैं।

संरेखीय और समस्ततः समतलीय बिंदुओं की तुलना

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: एक आयत का क्षेत्रफल ढूंढ़ना

समस्या: एक आयत के लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी है, इसका क्षेत्रफल ढूंढ़ें।

समाधान:

1. आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है:

$$क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई$$

2. फार्मूला में दिए गए मानों को स्थानांतरित करके, हमें यह मिलता है:

क्षेत्रफल = 5 सेमी × 3 सेमी = 15 सेमी²

इसलिए, आयत का क्षेत्रफल 15 सेमी² है।

उदाहरण 2: एक क्यूब का आयतन ढूंढें

समस्या: एक क्यूब का आयतन निकालें, जिसकी पक्ष लंबाई 4 सेमी है।

समाधान:

1. क्यूब के आयतन के लिए फार्मूला है:

$$आयतन = पक्ष की लंबाई³$$

2. दिए गए मान को फार्मूला में स्थानांतरित करके, हमें यह मिलता है:

आयतन = 4 सेमी³ × 4 सेमी³ × 4 सेमी³ = 64 सेमी³

इसलिए, क्यूब का आयतन 64 सेमी³ है।

उदाहरण 3: एक रैखिक समीकरण का समाधान करें

समस्या: रैखिक समीकरण 3x + 5 = 17 का समाधान करें।

समाधान:

1. समीकरण के दोनों पक्षों से 5 को घटाएं:

   3x + 5 - 5 = 17 - 5

2. सरल करें:

   3x = 12

3. समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से भाग दें:

   3x / 3 = 12 / 3

4. सरल करें:

   x = 4

इसलिए, रैखिक समीकरण का समाधान x = 4 है।

उदाहरण 4: एक क्वाड्रेटिक समीकरण का समाधान करें

समस्या: क्वाड्रेटिक समीकरण x² - 5x + 6 = 0 का समाधान करें।

समाधान:

1. क्वाड्रेटिक समीकरण को फैक्टराइज़ करें:

   (x - 2)(x - 3) = 0

2. प्रत्येक फैक्टर को शून्य के बराबर सेट करें:

   x - 2 = 0 x - 3 = 0

3. प्रत्येक रैखिक समीकरण को हल करें:

   x = 2 x = 3

इसलिए, क्वाड्रेटिक समीकरण के समाधान x = 2 और x = 3 हैं।

उदाहरण 5: एक फ़ंक्शन की अवकलज का ढूंढ़ना

समस्या: फ़ंक्शन f(x) = x³ - 2x² + 3x - 4 की अवकलज ढूंढ़ें।

समाधान:

1. प्रत्येक टर्म की अवकलज ढूंढ़ने के लिए अवकलज के शक्ति नियम का उपयोग करें:

$f’(x) = 3x² - 4x + 3$

इसलिए, फ़ंक्शन की अवकलज $f’(x) = 3x² - 4x + 3$ है।

संरेखित बिन्दु अक्षरश्रृंखला FAQ

संरेखित बिन्दु क्या होते हैं?

संरेखित बिन्दु वे बिंदु होते हैं जो एकीकृत रेखा पर स्थित होते हैं। दूसरे शब्दों में, वे बिंदु होते हैं जो एक सीधी रेखा पर होते हैं।

आप कैसे निर्धारित करते हैं कि बिन्दु संरेखित हैं या नहीं?

बिन्दु संरेखित होने की निर्धारण करने के कुछ तरीके हैं। एक तरीका है कि स्लोप फार्मूला का उपयोग किया जाए। यदि दो बिन्दुओं के बीच की रेखा की स्लोप दूसरे दो बिन्दुओं की रेखा की स्लोप के बराबर होती है, तो चार बिन्दु संरेखित होते हैं।

बिन्दु संरेखित होने का एक और तरीका है दूरी फार्मूला का उपयोग करना। यदि दो बिन्दुओं के बीच की दूरी दूसरे दो बिन्दुओं के बीच की दूरी के बराबर होती है, तो चार बिन्दु संरेखित होते हैं।

संरेखित बिन्दुओं के कुछ उदाहरण कौन से हैं?

कुछ संरेखित बिन्दुओं के उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• बिन्दु (0, 0), (1, 1), और (2, 2) इसलिए संरेखित होते हैं क्योंकि वे रेखा y = x पर स्थित हैं।
• बिन्दु (0, 0), (0, 1) और (0, 2) इसलिए संरेखित होते हैं क्योंकि वे रेखा x = 0 पर स्थित हैं।
• बिन्दु (1, 1), (2, 2) और (3, 3) इसलिए संरेखित होते हैं क्योंकि वे रेखा y = x + 1 पर स्थित हैं।

संरेखित बिन्दुओं के कुछ अनुप्रयोग?

संरेखित बिन्दुओं का ज्यादातर उपयोग ज्यामिति और अन्य क्षेत्रों में होता है। कुछ उदाहरण शामिल हैं:

• संरेखित बिन्दुओं का उपयोग रेखा की स्लोप निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

• संरेखित बिन्दुओं का उपयोग रेखा की समीकरण ढूंढने के लिए किया जा सकता है।

• संरेखित बिन्दुओं का उपयोग दो बिन्दुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

• सहलिंगी बिन्दुओं का उपयोग त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए किया जा सकता है।

निष्कर्ष

सहलिंगी बिन्दुए ज्यामिति में एक मूलभूत अवधारणा हैं। इनका ज्यामिति और अन्य क्षेत्रों में कई उपयोग होते हैं।