बाइनोमियल वितरण

बाइनोमियल वितरण एक विचक्षणीय प्रयोगों के क्रम में सफलताओं की संख्या का एक विशिष्ट यथापूर्व संभावना वितरण है, प्रत्येक क्रम में सफलता की संभावना $p$ के साथ उत्पन्न होती है।

महत्वपूर्ण अवधारणाएँ

• बाइनोमियल प्रयोग: बाइनोमियल प्रयोग में एक अनुक्रमिक परीक्षणों की श्रेणी होती है, प्रत्येक में सफलता की निश्चित संभावना $p$ होती है।
• सफलता: परीक्षण के लिए निर्दिष्ट मापदंडों को पूरा करने वाला परिणाम।
• असफलता: परीक्षण के लिए निर्दिष्ट मापदंडों को पूरा न करने वाला परिणाम।
• परीक्षणों की संख्या: परीक्षण में अनुक्रमिक परीक्षणों की कुल संख्या।
• सफलता की संभावना: प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की निश्चित संभावना।

संभावना मास फ़ंक्शन

बाइनोमियल वितरण की संभावना मास फ़ंक्शन (PMF) निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

जहाँ:

• $X$ संख्या कर रहा है जो सफलताओं की गणना कर रहा है।
• $n$ परीक्षणों की संख्या है।
• $p$ प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना है।
• $k$ सफलताओं की संख्या है।

औसत और विचलन

बाइनोमियल वितरण का औसत और विचलन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

• औसत: $E(X) = np$
• विचलन: $V(X) = np(1-p)$

अनुप्रयोग

बाइनोमियल वितरण को विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• गुणतत्व नियंत्रण: एक निर्मित उत्पाद में निश्चित संख्या के कुछ दोषों की संभावना निर्धारित करने के लिए।
• चिकित्सा अनुसंधान: एक वैधीक परीक्षण में निश्चित संख्या की सफलताओं की संभावना निर्धारित करने के लिए।
• सामाजिक विज्ञान: एक सर्वेक्षण में निश्चित संख्या की सफलताओं की संभावना निर्धारित करने के लिए।
• व्यापार: निर्धारित अवधि में निश्चित संख्या की बिक्री की संभावना निर्धारित करने के लिए।

उदाहरण

मान लीजिए हम 10 बार मुद्रा फेंकते हैं और हमें उस अंक की संख्या में रुचि है जो प्रकट होती है। अगर हम $X$ को उस संख्या के रूप में गणना करते हैं जिसमें सिक्के का उपयोग किया जाता है, तो $X$ को $n = 10$ और $p = 0.5$ के संकेतों के साथ बाइनोमियल वितरण का अनुसरण करता है।

उधाहरण के अनुसार, ठीक 5 सिर मिलने की संभावना निम्नलिखित होगी:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^5 = 0.2461$$

वितरण का औसत और विचलन हैं:

• औसत: $E(X) = 10 \times 0.5 = 5$
• विचलन: $V(X) = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$

बाइनोमियल वितरण सूत्र

बाइनोमियल वितरण एक विचक्षणीय प्रयोगों के क्रम में सफलताओं की संख्या का एक विशिष्ट यथापूर्व संभावना वितरण है, प्रत्येक क्रम में सफलता की संभावना $p$ के साथ उत्पन्न होती है।

सूत्र

$n$ अविपरीत प्रयोगों में $x$ सफलताएं होने की संभावना बाइनोमियल वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

जहाँ:

• $X$ संख्या कर रहा है जो सफलताओं की गणना कर रहा है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की संभावना है
• $\binom{n}{x}$ बाइनोमियल संख्या है, जो $n$ वस्तुओं के सेट से $x$ वस्तुओं को चुनने का तरीका है

उदाहरण

यहां हिंदी में दिए गए विषय का अनुवाद है:

10 बार सिक्का उलटकर फेंका जाता है और हमें सट्टे में ठीक से 5 सिक्के आने की संभावना से इंटरेस्ट है। हर उलटकर में सिक्का आने की संभावना $p = 1/2$ है। इसलिए, ठीक से 5 सिक्के आने की संभावना है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(1/2)^5(1/2)^5 = 252/1024 \approx 0.246$$

एप्लिकेशन

बाइनोमियल वितरण का उपयोग विभिन्न एप्लिकेशन में किया जाता है, जिसमें शामिल है:

• गुणवत्ता नियंत्रण: बाइनोमियल वितरण का उपयोग किया जा सकता है एक उत्पाद के दोषी होने की संभावना निर्धारित करने के लिए।
• चिकित्सा अनुसंधान: बाइनोमियल वितरण का उपयोग, बीमारी से रक्षा पाने की संभावना निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
• सामाजिक विज्ञान: बाइनोमियल वितरण का उपयोग किसी विशेष उम्मीदवार के लिए मतदान करने की संभावना निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

बाइनोमियल वितरण, स्वतंत्र प्रयोगों की एक क्रम में सफलता की संभावना की मॉडलिंग के लिए एक प्रबल उपकरण है। यह गुणवत्ता नियंत्रण, चिकित्सा अनुसंधान और सामाजिक विज्ञान में समेटा जाता है।

बाइनोमियल वितरण की माध्य और चार झुलाव

बाइनोमियल वितरण एक स्वतंत्र प्रयोगों की एक क्रम में सफलता की संख्या का एक संख्या निर्धिष्ट वितरण है, जिसमें हर 1-$(p)$ के साथ सफलता प्राप्त होती है।

बाइनोमियल वितरण की माध्य

बाइनोमियल वितरण की माध्य निम्नलिखित से दी गई है:

$$E(X) = np$$

जहां:

• $E(X)$ बाइनोमियल वितरण की माध्य है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की संभावना है

बाइनोमियल वितरण की विचलनता

बाइनोमियल वितरण की विचलनता निम्नलिखित से दी गई है:

$$V(X) = np(1-p)$$

जहां:

• $V(X)$ बाइनोमियल वितरण की विचलनता है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की संभावना है

बाइनोमियल वितरण की माध्य और विचलनता की गुणधर्म

बाइनोमियल वितरण की माध्य और विचलनता निम्नलिखित गुणधर्मों को प्राप्त करती हैं:

• बाइनोमियल वितरण की माध्य हमेशा एक पूर्णांक होती है।
• बाइनोमियल वितरण की विचलनता हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है।
• बाइनोमियल वितरण की माध्य $n$ बढ़ने पर बढ़ती है।
• बाइनोमियल वितरण की विचलनता $n$ बढ़ने पर बढ़ती है।
• बाइनोमियल वितरण की माध्य $n$ और $p$ के गुणांक के उत्पाद होती है।
• बाइनोमियल वितरण की विचलनता $n$ , $p$ और $(1-p)$ के उत्पाद होती है।

बाइनोमियल वितरण की माध्य और विचलनता के एप्लिकेशन

बाइनोमियल वितरण की माध्य और विचलनता का उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण, विश्वसनीयता अभियांत्रिकी, चिकित्सा अनुसंधान, सामाजिक विज्ञान अनुसंधान और व्यावसायिक निर्णय-निर्माण में किया जाता है।

निष्कर्ष

बाइनोमियल वितरण की माध्य और विचलनता एक महत्वपूर्ण माप हैं जो वितरण की केंद्रीय प्रवृत्ति और प्रविस्टि की माप करने के लिए उपयोगी हैं। इन्हें इस संदर्भ में उठाई जाने वाली आबादी से संबंधित सर्वेक्षण संचालित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

बाइनोमियल वितरण की गुणधर्म

बाइनोमियल वितरण एक अपवर्ती प्रयोगों के एक क्रम में सफलताओं की संख्या का अविशेष प्रायिकता वितरण है, हर एक प्रयोग से सफलता के साथ प्रायिकता $पी$ प्राप्त होती है। इसका उपयोग नमूने के आकार $n$ वाले एक जनसंख्या से सफलता प्रायिकता $पी$ के साथ सफलताओं की संख्या के मॉडलिंग के लिए किया जाता है।

बाइनोमियल वितरण की गुणधर्म

बाइनोमियल वितरण के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• बाइनोमियल वितरण एक अपवर्ती प्रायिकता वितरण है। इसका अर्थ है कि यह केवल एक अविशेष संख्या के मानों को ले सकता है। बाइनोमियल वितरण के मामले में, यह मानों की संख्या नियम वाले $n$ के बराबर होती है।
• बाइनोमियल वितरण का औसत $न्प$ होता है। यह अर्थ करता है कि $n$ आकार के नमूने में सफलताओं की औसत संख्या, नमूने के आकार और प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की प्रायिकता के उत्पाद के बराबर होती है।
• बाइनोमियल वितरण की चिढ़ती $नप (1-प)$ होती है। यह अर्थ करता है कि वितरण की फैलावन, नमूने के आकार और प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की प्रायिकता के उत्पाद के बराबर होती है।
• बाइनोमियल वितरण $प=0.5$ के बराबर होने पर आपके चारों ओर मध्यम में सममित होता है। यह अर्थ करता है कि वितरण जब सफलता की प्रायिकता असफलता की प्रायिकता के बराबर होती है तो यह मध्यम पर बराबर रूप से बटोर जाता है।
• बाइनोमियल वितरण पूर्णांक वितरण का सीमांकीय मामला है। यह अर्थ करता है कि जब नमूने का आकार बड़ा होता है और सफलता की प्रायिकता छोटी होती है तो बाइनोमियल वितरण को पूर्णांक वितरण द्वारा प्राकृतिक तरीके से अनुमानित किया जा सकता है।

बाइनोमियल वितरण के अनुप्रयोग

बाइनोमियल वितरण का विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: बाइनोमियल वितरण का उपयोग एक उत्पाद में दोषी होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
• मेडिकल रिसर्च: बाइनोमियल वितरण का उपयोग एक रोग से ठीक होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
• सामाजिक विज्ञान शोध: बाइनोमियल वितरण का उपयोग एक व्यक्ति के एक विशेष उम्मीदवार के वोट करने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
• व्यापार: बाइनोमियल वितरण का उपयोग एक ग्राहक द्वारा एक खरीदारी की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

बाइनोमियल वितरण अपवर्ती प्रयोगों के एक क्रम में सफलताओं की संख्या के मॉडलिंग के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसके कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं जो इसे विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोगी बनाते हैं।

बाइनोमियल वितरण पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सिक्का फेंकें

मान लीजिए हम एक इंसाफ़ी सिक्का 10 बार फेंकते हैं। केवल 5 सिक्कों पर मुंह आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

$X$ को 10 बार फेंकने में मुंह की संख्या की गणना करने वाली यादृच्छिक संख्या माना जाता है। तो $X$ का अनुसरण बाइनोमियल वितरण के साथ होता है जिसमें प्रायिकता $n = 10$ और $p = 1/2$ होती है। केवल 5 मुंह की प्रायिकता निम्नलिखित बाइनोमियल प्रायिकता मास फ़ंक्शन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} (1/2)^5 (1/2)^5 = 252 * (1/32) * (1/32) = 0.2461$$

इसलिए, ठीक 5 सिक्कों मिलने की संभावना 0.2461 है।

उदाहरण 2: एक पासा फेंकना

मान लीजिए हम एक ईमानदार छः मुख्य पासे को 6 बार फेंकते हैं। ठीक 3 सिक्कों मिलने की संभावना क्या है?

समाधान:

$X$ को 6 पासों में पासे की संख्या गिनती करने वाली यादृच्छिक चर के रूप में लेते हैं। तो $X$ में $n = 6$ और $p = 1/6$ के पैरामीटरों के साथ एक बाइनोमियल वितरण होता है। ठीक 3 सिक्कों मिलने की संभावना बाइनोमियल संभावना मास फ़ंक्शन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 3) = \binom{6}{3} (1/6)^3 (5/6)^3 = 20 * (1/216) * (125/216) = 0.293$$

इसलिए, ठीक 3 सिक्कों मिलने की संभावना 0.293 है।

उदाहरण 3: गुणतत्व नियंत्रण

एक गुणतत्व नियंत्रण निरीक्षक निरंकुश रूप से उत्पादन रेखा से 10 वस्त्रों का चयन करता है और उन्हें दोषों के लिए निरीक्षण करता है। किसी एक वस्त्र का कोई भी एक वस्त्र दोषी होने की संभावना 0.05 है। ठीक 2 वस्त्र दोषी होने की संभावना क्या है?

समाधान:

$X$ को 10 के नमूने में दोषी वस्त्रों की संख्या गिनती करने वाली यादृच्छिक चर के रूप में लेते हैं। तो $X$ में $n = 10$ और $p = 0.05$ के पैरामीटरों के साथ एक बाइनोमियल वितरण होता है। ठीक 2 दोषी वस्त्रों की संभावना बाइनोमियल संभावना मास फ़ंक्शन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8 = 45 * (0.0025) * (0.6634) = 0.073$$

इसलिए, ठीक 2 दोषी वस्त्रों की संभावना 0.073 है।

बाइनोमियल वितरण FAQs

बाइनोमियल वितरण क्या है?

बाइनोमियल वितरण एक अविच्छिन्न संख्या वितरण है जो एक स्वतंत्र प्रयोग के अनुक्रम में प्राप्त सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है, जिसमें प्रत्येक प्रयोग की एक स्थिर सफलता की संभावना होती है।

बाइनोमियल वितरण के पैरामीटर क्या हैं?

बाइनोमियल वितरण के दो पैरामीटर होते हैं:

• $n$: स्वतंत्र प्रयोगों की संख्या
• $p$: प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभावना

बाइनोमियल वितरण की संभावना मास फ़ंक्शन क्या है?

बाइनोमियल वितरण की संभावना मास फ़ंक्शन निम्न रूप में होती है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

जहां:

• $X$ संख्या को चिन्हित कर रहा है जो सफलताओं की संख्या को प्रतिष्ठित करता है
• $k$ सफलताओं की संख्या है
• $n$ स्वतंत्र प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभावना है

बाइनोमियल वितरण का मान क्या होता है?

बाइनोमियल वितरण का मान निम्न रूप में होता है:

$$E(X) = np$$

बाइनोमियल वितरण का वेरियेंस क्या होता है?

बाइनोमियल वितरण का वेरियेंस निम्न रूप में होता है:

$$V(X) = np(1-p)$$

बाइनोमियल वितरण का मानक विचलन क्या होता है?

बाइनोमियल वितरण का मानक विचलन निम्न रूप में होता है:

$$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

बाइनोमियल वितरण का स्क्यूनेस क्या होता है?

बाइनोमियल वितरण का स्क्यूनेस निम्न रूप में होता है:

$$\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$$

बाइनोमियल वितरण का क्यूर्टोसिस क्या होता है?

बाइनोमियल वितरण का क्यूर्टोसिस निम्न रूप में होता है:

$$\gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$$

बाइनोमियल वितरण के कुछ उपयोग क्या हैं?

द्विपद वितरण का उपयोग विभिन्न उदाहरणों में किया जाता है, जिसमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण
• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी
• चिकित्सा अनुसंधान
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान
• आयाम सांख्यिकी
• जीनेटिक्स
• वित्त

द्विपद वितरण की कुछ सीमाएं क्या हैं?

द्विपद वितरण की कुछ सीमाएं हैं, जिनमें शामिल हैं:

• यह केवल पूर्णांक यादृच्छिक चरों पर लागू होता है।
• यह मानता है कि प्रयोग के प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना स्थिर है।
• यह मानता है कि परीक्षण अवास्तविक हैं।

द्विपद वितरण के कुछ विकल्प क्या हैं?

द्विपद वितरण के कुछ विकल्प हैं, जिनमें शामिल हैं:

• प्वाइसन वितरण
• नकारात्मक द्विपद वितरण
• ज्यामितीय वितरण
• हाइपरज्योमीत्रिक वितरण