आर्क

एक आर्क एक वृत्त का एक हिस्सा है। इसकी परिभाषा वृत्त पर दो समांतर रेखाओं द्वारा इसके दो संकेंद्रों के बीच बनाए गए कोण के द्वारा की जाती है। एक आर्क की लंबाई, संकेंद्रों के बीच वृत्त पर चूकने की दूरी है।

आर्क की गुणधर्म

• एक आर्क के संकेंद्र वृत्त को दो भागों में विभाजित करते हैं: आर्क की अंत: स्थिति और आर्क की बाहरी स्थिति।
• एक आर्क की अंत: स्थिति उस क्षेत्र को सीमित करती है जिसमें आर्क और संकेंद्रों की दो रेखाओं का उपयोग किया गया है।
• एक आर्क की बाहरी स्थिति वह क्षेत्र है जो आर्क की अंत: स्थिति में समाहित नहीं है।
• एक आर्क के संकेंद्रों को दो रेखाओं द्वारा बनाए गए कोण को आर्क का केंद्रीय कोण कहा जाता है।
• एक आर्क की लंबाई आर्क के केंद्रीय कोण के साथ समरूप होती है।
• वृत्त के एक क्षेत्र का क्षेत्रफल उसके त्रिज्या की आधी गुणा उसकी आर्क की लंबाई से बराबर होता है।

आर्कों के प्रकार

तीन मुख्य प्रकार के आर्क होते हैं:

• मेज़र आर्क 180 डिग्री से अधिक होने वाले आर्क होते हैं।
• माइनर आर्क 180 डिग्री से कम होने वाले आर्क होते हैं।
• सेमीसर्कल 180 डिग्री के समान होने वाले आर्क होते हैं।

आर्कों के उपयोग

आर्कों का विभिन्न उपयोग किया जाता है, जिनमें से कुछ हैं:

• स्थापत्यकला: आर्कों का उपयोग पुल, गुम्बद और अन्य संरचनाओं के निर्माण में किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: आर्कों का उपयोग पुल, बाँध और अन्य संरचनाओं के डिज़ाइन में किया जाता है।
• गणित: आर्कों का उपयोग ज्यामिति और त्रिकोणमिति के अध्ययन में किया जाता है।
• भौतिक विज्ञान: आर्कों का उपयोग प्रकाशिकी और वैद्युतज्ञान के अध्ययन में किया जाता है।

निष्कर्ष

आर्क ज्यामिति का महत्वपूर्ण हिस्सा है और इसका व्यापारिक उपयोग वाले वास्तविक जगत में विविधता है। आर्कों की गुणधर्मों और प्रकारों को समझकर, आप आपके आस-पास की दुनिया को बेहतर तरीके से समझ सकते हैं।

वृत्त की आर्क

एक वृत्त की आर्क एक वृत्त की परिधि का एक हिस्सा होती है। इसकी परिभाषा वृत्त पर दो समांतर रेखाओं द्वारा इसके संकेंद्रों के दो संकेंद्रों के साथ बनाए जाने वाले कोण द्वारा की जाती है।

वृत्त की आर्क की गुणधर्म

• एक आर्क की लंबाई वृत्त के व्यास गुणा आर्क के कोण से होती है।
• एक आर्क का क्षेत्रफल वृत्त के व्यास की आधी गुणा आर्क के कोण के व्यास का वर्ग होता है।
• एक वृत्त की आर्क तभी वृत्त का क्षेत्रफल होती है जब संकेंद्र के कोण का मान 180 डिग्री के बराबर होता है।

वृत्त की आर्क के उपयोग

वृत्त की आर्क विभिन्न उपयोगों में इस्तेमाल होती है, जिनमें शामिल हैं:

• कोणों की माप करना
• वृत्त निर्माण करना
• कुर्वों का निर्माण करना
• क्षेत्रफल और आयतन की गणना करना

वृत्त की आर्क के उदाहरण

कुछ वृत्त की आर्क के उदाहरण हैं:

• इंद्रधनुष की आर्क
• पुल की आर्क
• गियर टूथ की आर्क
• घंटी की आर्क

वृत्त की आर्क ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा है और वास्तविक जगत में विभिन्न क्षेत्रों में इसका उपयोग होता है।

आर्क का सूत्र

एक चाप को कोण से अंतराल के साथ आर 5 सेमी व्यास वाले वृत्त का एक चाप लंबानुक्रमित करता है।

समाधान:

एक अर्धवृत्त की लंबाई फार्मूला इस तरह होती है:

$$लंबाई = व्यास × कोण$$

जहां:

• लंबाई चाप की लंबाई है
• व्यास वृत्त का व्यास है
• कोण को प्रमाण माप करेगा

इस मामले में, हमारे पास यहां हैं:

हाइ वर्जन आघात: * आर = 5 सेमी

• थीटा = 60 डिग्री = पाई/3 रेडियन

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने से, हमें प्राप्त होता है:

$$s = 5 सेमी * पाई/3 रेडियन ≈ 5.24 सेमी$$

इसलिए, आर्क की लंबाई लगभग 5.24 सेमी है।

उदाहरण २: सेक्टर का क्षेत्रफल खोजना

व्यास 10 सेमी वाले एक वृत्त का उद्दीपक कोन।

समाधान:

क्षेत्रफल सेक्टर द्वारा दिया जाता है सूत्र:

$$ए = 1/2 आर^2 थीटा$$

जहाँ:

• ए सेक्टर का क्षेत्रफल है
• आर वृत्त का त्रिज्या है
• थीटा वृत्त का कोण रेडियन में है

इस मामले में, हमारे पास हैं:

• आर = 10 सेमी
• थीटा = 120 डिग्री = 2पाई/3 रेडियन

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने से, हमें प्राप्त होता है:

$$ए = 1/2 * 10 सेमी^2 * 2पाई/3 रेडियन ≈ 33.33 सेमी^2$$

इसलिए, सेक्टर का क्षेत्रफल लगभग 33.33 सेमी^2 है।

उदाहरण ३: आर्क का केंद्रीय कोण खोजना

व्यास 8 सेमी वाले एक वृत्त का एक आर्क 12 सेमी की लंबाई है।

समाधान:

आर्क का केंद्रीय कोण द्वारा दिया जाता है सूत्र:

$$थीटा = स/आर$$

जहाँ:

• थीटा आर्क का केंद्रीय कोण है
• स आर्क की लंबाई है
• आर वृत्त का त्रिज्या है

इस मामले में, हमारे पास हैं:

• स = 12 सेमी
• आर = 8 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने से, हमें प्राप्त होता है:

$$थीटा = 12 सेमी / 8 सेमी = 1.5 रेडियन$$

इसलिए, आर्क का केंद्रीय कोण 1.5 रेडियन है।