Introduction Of K Map Karnaugh Map
हाइवर्सन नक्शा
एक हाइर्सन नक्शा (केम-नक्शा) बूलियन व्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोग होने वाली एक ग्राफिकल विधि है। यह एक बूलियन समीकरण के सत्य सूची का एक द्विआयामी प्रतिनिधित्व है, और इसके माध्यम से सामान्य शब्दों की पहचान करने की अनुमति है जिसे आप सरल कर सकते हैं।
एक हाइर्सन नक्शा कैसे बनाएं
एक हाइर्सन नक्शा बनाने के लिए, निम्नानुसार कदम आगे बढ़ें:
- बूलियन समीकरण की सत्य सूची लिखें।
- पहले दो वेरिएबल के मानों के अनुसार सत्य सूची की पंक्तियों को समूहबद्ध करें।
- अंतिम दो वेरिएबल के मानों के अनुसार सत्य सूची की स्तंभों को समूहबद्ध करें।
- हाइर्सन नक्शे की कक्षों को बूलियन समीकरण की सत्य सूची से भरें।
- हाइर्सन नक्शे में सामान्य शब्दों का पहचान करें।
- सरल बूलियन समीकरण के लिए सामान्य शब्दों को आउट करें।
उदाहरण
चलो निम्नलिखित बूलियन समीकरण के लिए एक हाइर्सन नक्शा बनाएं:
F(A, B, C, D) = AB'CD' + A'B'CD + A'BC'D + ABC'D'
इस समीकरण की सत्य सूची निम्न रूप में है:
| A | B | C | D | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
इस समीकरण की हाइर्सन नक्शा निम्नलिखित है:
CD
AB\ 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 1 0
11 0 0 0 1
10 0 0 0 0
हाइर्सन नक्शे में सामान्य शब्द हैं:
- CD'
- A’B'
इन सामान्य शब्दों को आउट करके, हम निम्नलिखित सरलित बूलियन समीकरण प्राप्त करते हैं:
F(A, B, C, D) = CD'(A + B')
हाइर्सन नक्शों के लाभ
हाइर्सन नक्शे कई लाभ प्रदान करते हैं जो बूलियन समीकरणों को सरल करने के अन्य विधियों की तुलना में, निम्नलिखित समेत होते हैं:
- वे सत्य सूची का एक दृश्यात्मक प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं, जिससे सामान्य शब्दों की पहचान करना आसान होता है।
- वे बूलियन समीकरणों को सरल करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं जिनमें अधिक संख्या के वेरिएबल्स होते हैं।
- वे बूलियन समीकरण की न्यूनतम संयोजन और संयोजन-फलनों के रूप में ढांचा खोजने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं।
निष्कर्ष
हाइर्सन नक्शे बूलियन समीकरणों को सरल करने का एक शक्तिशाली उपकरण हैं। इनका उपयोग करना आसान होता है और इसे अनेक तरह के समस्याओं पर लागू किया जा सकता है।
एक क-नक्शा प्रकार
क-नक्शे बूलियन समीकरणों के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व हैं। वे बूलियन समीकरणों को सरल करने और संयोजनात्मक तारल यंत्रों का निर्माण करने के लिए उपयोग होते हैं। किन्तु दो प्रमुख प्रकार के क-नक्शे होते हैं:
1. मानक क-नक्शा
मानक क-नक्शा एक वर्गाकार ग्रिड होता है जिसमें 2^n पंक्तियाँ और 2^n स्तंभ होते हैं, जहाँ n बूलियन समीकरण में वेरिएबल्स की संख्या होती है। क-नक्शा में प्रत्येक कक्ष इनपुट वेरिएबलों के संभावित संयोग का प्रतिनिधित्व करती है। प्रत्येक संयोग के लिए बूलियन समीकरण के मान का प्रतिनिधित्व करती है।
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक मानक क-नक्शा एक बूलियन समीकरण के लिए है जिसमें तीन वेरिएबल्स, A, B और C होते हैं:
A B C | F
--------+---
0 0 0 | 0
0 0 1 | 1
0 1 0 | 1
0 1 1 | 0
1 0 0 | 1
1 0 1 | 0
1 1 0 | 0
1 1 1 | 1
क्वॉन्टमेंट मैप क्या ही ?
क्वॉन्टिक मैप (Quantum map) एक गतिशील भौतिकी को आपके भौतिक कर्तव्यों के रूप में प्रदर्शित करता है। यह आपको अपने कर्तव्यों में उपस्थित छोटे परिवर्तनों को देखने और अनुसरण करने की अनुमति देता है। क्वॉन्टमेंट मैप्स में आप "क्वॉन्टमेंट" या क्वॉन्ट के खंड से कर्तव्यों को एकत्रित करते हैं।
क्वॉन्टमेंट मैप की क्षेत्रफल एक या अधिक समूहों या क्षेत्रों को दर्शाती है, जहां प्रत्येक समूह आपके कर्तव्यों की एकत्रित करने वाली आपूर्ति के बारे में सूचना प्रदान कर सकती है।
क्वॉन्टमेंट मैप को उपयोग करके आप बहुत सारे चीजें समझ सकते हैं, जैसे कि यह आपके कर्तव्यों का वर्णन करने के लिए क्या करता है, आपके कर्तव्यों को कैसे सम्पन्न करने के बारे में किनमेल करता है, और स्थिरता कैसे प्राप्त करता है।
क्वॉन्टमेंट मैप्स को देखने के लिए, आपको पहले अपने भौतिक कर्तव्यों की संख्या को तय करनी होगी। यह आपके भौतिक कर्तव्यों के संख्या को देखने के लिए आपको खंडों और क्वॉन्टों में चेक करने की अनुमति देता है, ताकि आप अपने कर्तव्यों को सहजता से प्रगट कर सकें।
आप एक ब्लॉक को वसीयत के बदले में अपने कर्तव्यों को वर्गीकरण करते हैं, और और फिर आप एक क्वॉन्टमेंट के क्षेत्र में से उस खंड को निर्दिष्ट करते हैं जिसकी क्षमता यह होती है। बाद में, आप अपने कर्तव्यों को प्रगट करने के लिए इन सूक्ष्म परिवर्तनों को रद्द कर सकते हैं।
क्वॉन्टमेंट मैप कई प्रकार होते हैं, जैसे कि वसीयती क्वॉन्टमेंट मैप, नंतरीय क्वॉन्टमेंट मैप, वृत्तीय क्वॉन्टमेंट मैप, उच्चारण क्वॉन्टमेंट मैप आदि। हर प्रकार का क्वॉन्टमेंट मैप यह देखाता है कि आपके उपयोगी कर्तव्यों का कौन-सा भाग वर्षा के अधीन होगा और किन प्रकार की आपूर्ति के अधीन होगा।
अगला कदम है के-मानचित्र बनाना। कदंबरी नक्शा एक वर्गाकार ग्रिड है, जिसमें पंक्तियों और स्तंभ की संख्या बूलियन कार्य में मात्राओं के समान है। कदंबरी मानचित्र में प्रत्येक कोष एक इंपुट की एक संयोजन को दर्शाता है।
३. **कदंबरी मानचित्र में भरें।**
अगला कदंबरी मानचित्र में भरें। प्रत्येक कोष में, संयोजन के अनुरूप बूलियन कार्य का उत्पाद लिखें।
४. **सामान्य शब्दों की पहचान करें।**
अगला कदंबरी मानचित्र में सामान्य शब्दों की पहचान करें। सामान्य शब्दों में एक ही उत्पाद होते हैं।
५. **समान्य शब्दों को बाहर निकालें।**
अंतिम कदंबरी में बाहर आए सामान्य शब्दों को बाहर निकालना है। इसे प्रतिलिपि के रूप में बूलियन कार्य के रूप में लिखा जा सकता है, जहां प्रत्येक उत्पाद सामान्य शब्द होता है।
##### उदाहरण
चलो इस बूलियन कार्य को निम्नलिखित कदंबरी मानचित्र का उपयोग करके हल करें:
$$F(A, B, C) = \overline{A}B\overline{C} + AB\overline{C} + ABC$$
१. **बूलियन कार्य का सत्यता सारणी लिखें।**
बूलियन कार्य की सत्यता सारणी इस प्रकार होगी:
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
२. **कदंबरी मानचित्र बनाएं।**
यहाँ दिए गए बूलियन कार्य की कदंबरी मानचित्र कुछ इस तरह होगी:
A B 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1
३. **कदंबरी मानचित्र में भरें।**
इस बूलियन कार्य की कदंबरी मानचित्र इस तरह होगी:
A B 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1
४. **सामान्य शब्दों की पहचान करें।**
कदंबरी मानचित्र में सामान्य शब्द हैं:
- $\overline{C}$
- $AB$
५. **सामान्य शब्दों को बाहर निकालें।**
बूलियन कार्य को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$$F(A, B, C) = \overline{C}(A + B) + AB$$
##### कर्नो-नक्शा प्राश्नोत्तरी
##### कर्नो-नक्शा क्या है?
कर्नो-नक्शा (K-map) बूलियन व्यख्या को सरलीकृत करने की एक आरेखात्मक विधि है। यह एक दो-आयामी प्रतिनिदेश तालिका है जो एक बूलियन कार्य के सत्यता सारणी का प्रतिनिधित्व करती है, और इससे सरलीकृत किए जा सकने वाले सामान्य शब्दों की पहचान करने की अनुमति देती है।
##### मैं कर्नो-नक्शा का उपयोग कैसे करूं?
कर्नो-नक्शा का उपयोग करने के लिए इन चरणों का पालन करें:
१. बूलियन कार्य के लिए सत्यता सारणी लिखें।
२. सत्यता सारणी के बराबर पंक्तियों और स्तंभों की संख्या वाला एक कर्नो-नक्शा बनाएं।
३. कर्नो-नक्शा की पंक्तियों और स्तंभों को इनपुट मानों से लेबल करें।
४. कर्नो-नक्शा को सत्यता सारणी के आउटपुट से भरें।
५. कर्नो-नक्शा में पड़े 1 को सम्मिलित कर, आयताकार बनाएं।
६. प्रत्येक आयताकार एक सरलीकृत बूलियन व्यख्या में एक शब्द को प्रतिष्ठान देता है।
७. कर्नो-नक्शा से प्राप्त शब्दों का उपयोग करके बूलियन व्यख्या को सरलीकृत रूप में लिखें।
##### कर्नो-नक्शा का उपयोग करने के क्या फायदे हैं?
कर्नो-नक्शा अन्य बूलियन व्यख्या को सरलीकृत करने के मुक़ाबले में कई लाभ प्रदान करते हैं, जिनमें से कुछ निम्नलिखित हैं:
* **सरलता:** कर्नो-नक्शाएं यथार्थ्यपूर्ण बूलियन कार्य के लिए भी आसान और सरल होती हैं, जहां जटिल बूलियन कार्यों के लिए भी।
* **कुशलता:** कर्नो-नक्शाएं आसानी से सामान्य शब्दों की पहचान कर सकती हैं, जो भावीकरण के लिए बूलियन व्यख्या को सरलीकृत कर सकते हैं।
* **सञ्चारण:** के-नक्से बूलियन समीकरण का एक दृश्यादिकरण प्रदान करते हैं, जो पैटर्न और संबंधों की पहचान करने में मदद कर सकता है।
##### कर्णॉ मैप का उपयोग करने की सीमाएँ क्या हैं?
कर्णॉ मैप के कुछ सीमाएँ हैं, जिनमें शामिल हैं:
* **आकार:** के-नक्स बूलियन समीकरण के लिए इनपुट चरित्रों के बड़े और कठिन हो जाने वाले हो सकते हैं।
* **जटिलता:** के-नक्स, जो कैनन्निक रूप में नहीं हैं, उनके लिए कठिन हो सकते हैं।
* **संदिग्धता:** के-नक्स कभी-कभी एक ही बूलियन समीकरण के लिए एकाधिक सरलीकृत अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न कर सकते हैं।
##### मैं कर्णॉ मैप कब उपयोग करूँ?
कर्णॉ मैप को बूलियन समीकरण को सरलीकृत करने के लिए छोटे से मध्यम संख्या के इनपुट चरित्रों के साथ उपयोगी होते हैं। ये विशेषतः तब कारगर होते हैं, जब बूलियन समीकरण कैननिक रूप में नहीं हैं।
##### क्या कर्णॉ मैप के इस्तेमाल के विकल्प हैं?
बूलियन अभिव्यक्तियों को सरलीकृत करने के लिए कर्णॉ मैप के कई विकल्प हैं, जिनमें शामिल हैं:
* **Quine-McCluskey method:** यह विधि एक तालिकात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करती है, जो सरलीकृत करने के लिए मिलकर बूल्यांकन कर सकते हैं।
* **Petrick's method:** यह विधि एक आरेखित दृष्टिकोण का उपयोग करती है, जो सरलीकृत करने के लिए मिलकर बूल्यांकन कर सकते हैं।
* **एस्प्रेसो:** यह एक कंप्यूटर कार्यक्रम है, जो स्वचालित रूप से बूलियन अभिव्यक्तियों को सरलीकृत कर सकता है।
##### निष्कर्ष
कर्णॉ मैप बूलियन अभिव्यक्तियों को सरलीकृत करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। इन्हें समझने और उपयोग करने में आसान है, और इनसे आसानी से सामान्य शब्दों को पहचान कर सरलिकृत कर सकते हैं। हालांकि, कर्णॉ मैप की कुछ सीमाएँ हैं, और बूलियन अभिव्यक्तियों को सरलीकृत करने के लिए कर्णॉ मैप के कई विकल्प हैं।
